"Herglotz–Zagier 함수"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 4번째 줄: | 4번째 줄: | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\ | F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\ | ||
| − | &= \int_{0}^{\infty}(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t})\log (1-e^{-xt})\, dt | + | &= \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\log (1-e^{-xt})\, dt |
\end{align} | \end{align} | ||
$$ | $$ | ||
* 실 이차수체에 대한 [[크로네커 극한 공식]]을 얻는데 활용됨 | * 실 이차수체에 대한 [[크로네커 극한 공식]]을 얻는데 활용됨 | ||
| + | |||
| + | ==성질== | ||
| + | * 반전공식 | ||
| + | $$ | ||
| + | F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}(x+\frac{1}{x})-\frac{1}{2}\log^2(x)+C_1 | ||
| + | $$ | ||
| + | 이 때 $C_1=1.45738783\cdots$는 상수 | ||
| + | * | ||
| + | $$ | ||
| + | F(x)-F(x-1)+F\left(\frac{x-1}{x} \right) =-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)+C_2 | ||
| + | $$ | ||
| + | 이 때 $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수 | ||
2013년 6월 2일 (일) 08:09 판
개요
- 다음과 같이 정의된 함수 $F:\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}$
$$ \begin{align} F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\ &= \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\log (1-e^{-xt})\, dt \end{align} $$
- 실 이차수체에 대한 크로네커 극한 공식을 얻는데 활용됨
성질
- 반전공식
$$ F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}(x+\frac{1}{x})-\frac{1}{2}\log^2(x)+C_1 $$ 이 때 $C_1=1.45738783\cdots$는 상수
$$ F(x)-F(x-1)+F\left(\frac{x-1}{x} \right) =-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)+C_2 $$ 이 때 $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수
사전 형태의 자료
관련논문
- Masri, Riad. 2004. “The Herglotz–Zagier Function, Double Zeta Functions, and Values of L-series.” Journal of Number Theory 106 (2) (June): 219–237. doi:10.1016/j.jnt.2004.01.004.
- Zagier, Don. 1975. “A Kronecker Limit Formula for Real Quadratic Fields.” Mathematische Annalen 213 (2) (June 1): 153–184. doi:10.1007/BF01343950.