곡선

개요

• 매개화된 곡선 \(\overrightarrow{r}(t)=(\cos t,\sin t, 3t)\). 

 

 

곡선의 길이

 \((1,0,0)\) 에서 \((1,0,6\pi)\)까지의 곡선의 길이

At \((1,0,0)\), \(t=0\) and at \((1,0,6\pi)\), \(t=2\pi\)

 \(\overrightarrow{r}'(t)=(-\sin t,\cos t, 3)\)

\(|\overrightarrow{r}'(t)| =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t +9}=\sqrt{10}\)

곡선의 길이는 다음과 같이 주어지게 된다

\(L=\int_{0}^{2\pi}|\overrightarrow{r}'(t)| \,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{10}\,dt=2\sqrt{10}\pi\)

 

 

곡률

• 곡선의 방향 변화를 재는 양
  
• 길이 s를 매개변수로 갖는 곡선\(\overrightarrow{X}(s)\)의 경우, 이계도함수의 절대값으로 주어진다
  

\(\overrightarrow{T}(t)=\frac{\overrightarrow{r}'(t)}{|\overrightarrow{r}'(t)|}=\frac{(-\sin t,\cos t, 3)}{\sqrt{10}}\)

\(\overrightarrow{T}'(t)=\frac{(-\cos t,-\sin t, 0)}{\sqrt{10}}\)

\(k=\frac{|\overrightarrow{T}'(t)|}{|\overrightarrow{r}'(t)|}=\frac{\frac{|(-\cos t,\sin t, 0)|}{\sqrt{10}}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{10}\)

 

 

예

• 로그나선
• 사이클로이드
• 등시강하곡선 문제 (Tautochrone problem)
• 최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)
• 심장형 곡선(cardioid)
• 원의 방정식
• 이차곡선(원뿔곡선)
• 쌍곡선
• 타원
• 포물선
• 추적선 (tractrix)
• 포락선(envelope)과 curve stitching
• 데카르트의 엽선(folium)

 

관련된 항목들

• 이차곡선(원뿔곡선)
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분

관련 웹페이지

• A Visual Dictionary of Special Plane Curves
• National Curve Bank