전자기학의 라그랑지안

하전입자에 대한 라그랑지안

• 전기장 $\mathbf{E}=\nabla \phi$
• 자기장 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$
• 전자기장 안에 놓인 질량 $m$, 전하 $e$의 하전입자에 대한 라그랑지안

\[L(q,\dot{q})=\frac{m||\dot{q}||^2}{2}-e\phi+eA_{i}\dot{q}^{i}\]

• 켤레운동량

\[p_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}^{i}}}=m \dot{q}_{i}+eA_{i}=mv_{i}+eA_{i}\]

• 오일러-라그랑지 방정식 \(\dot{p}=F\)은 다음과 같이 쓰여진다

$$ \dot{p}_{i}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial t}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j} \\ F_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{q^{i}}}=\frac{\partial}{\partial{{q}^{i}}}(-e\phi+eA_{j}\dot{q}^{j})=-e\frac{\partial{\phi}}{\partial{q}^{i}} +e\frac{\partial{A_{j}}}{\partial{q}^{i}}\dot{q}^{j} $$ \[m\frac{dv_{i}}{dt}=eE_{i}+eF_{ij}\dot{q}^{j},\quad i=1,2,3 \label{eom}\] 여기서 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!$

• $F_{12}=B_{3}$, $F_{23}=B_{1}$, $F_{31}=B_{2}$
• 가령 $i=1$이면, \ref{eom}은 다음과 같다

$$ ma_1=eE_1+e(F_{11}\dot{q}^{1}+F_{12}\dot{q}^{2}+F_{13}\dot{q}^{3})=eE_1+e(F_{12}\dot{q}^{2}-F_{31}\dot{q}^{3})=eE_1+e(\mathbf{v}\times \mathbf{B})_{1} $$

• 전하가 받는 힘 $\mathbf{F}$는 다음과 같다

\[\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\]

• 이를 로렌츠 힘이라 한다
• 전자기 텐서와 맥스웰 방정식

전자기장에 대한 라그랑지안

상호작용이 없는 경우

• $j$와 $\rho$가 0인 경우
• 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다

$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)$$ 이 때 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜

• 작용

\[S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x\]

• 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)\] 여기서 $\Lambda(x)$는 임의의 스칼라장

• 운동방정식

$$ \partial_\mu F^{\mu\nu}=0 $$

상호작용이 있는 경우

• $j$와 $\rho$가 0이 아닌 경우
• 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다

$$L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu$$

• 작용

$$S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt$$

• 운동방정식

$$ \nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla\times B=\mu_0j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t} $$

메모

• http://dexterstory.tistory.com/724
• http://physics.stackexchange.com/questions/3005/derivation-of-maxwells-equations-from-field-tensor-lagrangian?rq=1

관련된 항목들

• 맥스웰 방정식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTnVDTUZHbm8xNzA/edit

사전 형태의 참고자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force

리뷰, 에세이, 강의노트

• THOMAS YU Lagrangian formulation of the electromagnetic field
• Lea, The field Lagrangian
• Susskind, The electromagnetic Lagrangian
• Lecture 8 | Modern Physics: Classical Mechanics (Stanford). 2008. http://www.youtube.com/watch?v=gUUbl444r74&feature=youtube_gdata_player.
• http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/six.pdf