고전 단순 조화 진동자

개요

• 고전역학에서의 적분가능 모형의 예
• 질량 $m$, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
• 해밀토니안

\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\]

• 해밀턴 방정식

\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\] \[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]

• 운동방정식

\[\ddot{q}=-\omega^{2} q\] \[\ddot{q}+\omega^{2} q=0\]

• 보존량 \(L_ 1(q,p)=H(q,p)\)

작용-각 변수

• http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables
• 작용 변수 \(I(q,p)=\frac{1}{2} \left(\frac{p^2}{m \omega }+m q^2 \omega \right)\), 각 변수 \(\theta(q,p)=\tan ^{-1}\left(\frac{p}{m q \omega }\right)\)
• 해밀토니안은 \(H=\omega I\)로 쓰여지며, 따라서

\[ \dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \]

• 다음을 얻는다

\[\theta = \omega t+\theta_0\]

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQXlGeEQ0U3d3d3M/edit

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/조화_진동