소수 정리

개요

• \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.
• 가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견
• 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
• 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)

체비셰프 $\psi$와 $\theta$

• $x>0$에 대하여, 다음과 같이 $\psi$와 $\theta$를 정의

$$ \psi(x)=\sum_{n \leq x}\Lambda(n) $$ $$ \theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p $$

정리

양수 $x$에 대하여 다음이 성립한다 $$ 0\leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2} $$

동치명제

정리

다음의 관계들은 동치이다 $$ \lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\theta(x)}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1 $$

로그적분

• 로그 적분(logarithmic integral)

\[\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\]

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

메모

• 드 라 발레-푸생
• http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf
• \(\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx\)

증명

\[\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\] 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \[\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\] 따라서 \(\theta(x) \sim x\) 임을 가정하면, \[\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\] 를 얻는다.■  

관련된 항목들

• 부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)
• 리만가설
• 리만제타함수

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리
• http://en.wikipedia.org/wiki/prime_number_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem

 

 

관련논문

• D. Goldfeld, THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE
• An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem
  
  • Atle Selberg, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 50, No. 2 (Apr., 1949), pp. 305-313