소수 정리

개요

• \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉 다음이 성립한다

\[\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\]

체비셰프 $\psi$와 $\theta$

• $x>0$에 대하여, 다음과 같이 $\psi$와 $\theta$를 정의

$$ \psi(x)=\sum_{n \leq x}\Lambda(n) $$ $$ \theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p $$

정리

$x>0$에 대하여 다음이 성립한다 $$ 0\leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2} $$

소수 계량 함수와의 관계

정리

$x\geq 2$에 대하여 다음이 성립한다 $$ \theta(x)=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\, dt\\ \pi(x)=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt $$

증명

함수 $a$가 소수집합에 대한 특성함수, 즉 $$ a(n) = \begin{cases} 1, & \text{if $n$ is prime}\\ 0, & \text{otherwise} \\ \end{cases} $$ 라 하자.

이 때, $\pi(x)=\sum_{1<n \leq x}a(n)$ 그리고 $\theta(x)=\sum_{1<n \leq x} a(n)\log n$이 성립한다.

아벨 항등식을 적용하면, $$ \begin{aligned} \theta(x)&=\pi(x)\log x-\pi(1)\log 1-\int_{1}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt\\ &=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt \end{aligned} $$

한편 $b(n)=a(n)\log n$으로 두면, 다음이 성립한다 $$ \begin{aligned} \pi(x)&=\sum_{3/2<n\leq x}b(n)\frac{1}{\log n}\\ &=\frac{\theta(x)}{\log x}-\frac{\theta(3/2)}{\log 3/2}+\int_{3/2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\,dt\\ &=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt \end{aligned} $$

동치명제

정리

다음의 관계들은 동치이다 $$ \lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\theta(x)}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1 $$

로그적분

• 로그 적분(logarithmic integral)

\[\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\]

 

 

역사

• 1792-3 가우스의 실험적인 관찰에서 발견
• 1798 르장드르가 소수 정리를 추측
• 1859 리만이 리만 가설을 발표
• 1896 아다마르와 드라발레푸생에 의해 (독립적으로) 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
• 1948 에르디시와 셀베르그가 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 방법으로 소수 정리를 증명
• 수학사 연표

메모

• [[http://www.mathpages.com/home/kmath032.htm
• http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf
• \(\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx\)

증명

\[\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\] 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \[\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\] 따라서 \(\theta(x) \sim x\) 임을 가정하면, \[\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\] 를 얻는다.■  

관련된 항목들

• 리만가설
• 리만제타함수
• 부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리
• http://en.wikipedia.org/wiki/prime_number_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem

 

리뷰, 에세이, 강의노트

• http://people.oregonstate.edu/~peterseb/misc/docs/pnt2.pdf
• D. Goldfeld, THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE 

관련논문

• An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem
  
  • Atle Selberg, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 50, No. 2 (Apr., 1949), pp. 305-313