프로듀스 X 101 투표 조작 논란

개요

• 프로듀스 101 X 투표 조작 논란이 있다.
• 조작 주장의 근거는 득표수와 관련된 우연으로 보기 힘든 여러 현상들이다.
• 여러 번의 투표 결과를 득표수 그대로 더하지 않고, 적당히 가중치를 주어 합산하는 과정이 있었다면, 위에서 발견된 현상들은 대체로 설명이 가능하다.
• 가령 네번의 투표가 있었고, 각 투표가 예를 들어 모두 25%만큼 기여하도록 해야 한다면, 득표결과에 적당한 수를 곱하고 반올림하는 과정을 거쳤을 수도 있다.
• 7월 24일 엠넷이 내놓은 "득표수로 순위를 집계한 뒤 득표율로 계산해 소수점 둘째 자리로 반올림하고 이를 다시 득표수로 환산했다"는 해명은 따라서 납득할만하다.
• 단, 이 글은 투표 결과에 어떤 조작도 없었음을 증명하지는 않는다

설명

득표수와 관련된 많은 현상을 설명할 수 있는 하나의 수학적 명제가 있다.

마스터 정리

정리

0보다 큰 실수 $\alpha$가 주어져 있고, $\alpha$의 정수부분을 $f$라 하자. 임의의 자연수 $n$에 대하여, $n\alpha$를 반올림해서 얻어지는 자연수 $m$는 $f$의 배수와 $(f+1)$의 배수의 합으로 표현된다.

건조하게 적었지만, 이는 흥미로운 점이 있는 수론적 현상이라 할 수 있으며, 이번 논란이 촉발시킨 발견이다.

예

• $\alpha=7494.442$
• $f=7494$

다음과 같은 선택을 해보자.

• $n=178$
• $n\alpha=1334010.676$

그러면 $n\alpha$를 반올림하여, $m=1334011$이고 $m=1334011 = 99 \times 7494 + 79 \times 7495$

또 다른 예를 들자면,

• $n=102$
• $n\alpha=764433.084$

그러면 $n\alpha$를 반올림하여, $m=764433$이고 $m=764433 = 57 \times 7494 + 45 \times 7495$

예

• $\alpha=5.2$
• $f=5$
• $n=3$
• $n\alpha=15.6$

이 때, $m=16$이고, $16 = 2\times 5 + 1 \times 6$

프듀 101 X 득표 테이블

이 글 https://gall.dcinside.com/board/view/?id=producex&no=2998354 에서 지적되었듯이, 프듀의 득표 테이블은 $\alpha=7494.442$에 적당한 자연수 $n$를 곱한 다음 반올림하여 얻어진 것과 12위 딱 한 곳만 제외하고 모두 같다. 12위의 표는 오타로 보는 것이 맞을 것이다. 아래 표의 오른쪽은 위에서 설명한 정리에서처럼 7494와 7495의 배수의 합으로 이 득표수를 나타낸 것이다.

\begin{array}{c|cc|c} \text{} & \text{n} & \text{round} (n \alpha ) & \text{} \\ \hline 1 & 178 & 1334011 & 99\times7494+79\times7495 \\ 2 & 174 & 1304033 & 97\times7494+77\times7495 \\ 3 & 144 & 1079200 & 80\times7494+64\times7495 \\ 4 & 140 & 1049222 & 78\times7494+62\times7495 \\ 5 & 124 & 929311 & 69\times7494+55\times7495 \\ 6 & 110 & 824389 & 61\times7494+49\times7495 \\ 7 & 106 & 794411 & 59\times7494+47\times7495 \\ 8 & 102 & 764433 & 57\times7494+45\times7495 \\ 9 & 101 & 756939 & 56\times7494+45\times7495 \\ 10 & 100 & 749444 & 56\times7494+44\times7495 \\ 11 & 96 & 719466 & 54\times7494+42\times7495 \\ 12 & 94 & 704478 & 52\times7494+42\times7495 \\ 13 & 92 & 689489 & 51\times7494+41\times7495 \\ 14 & 90 & 674500 & 50\times7494+40\times7495 \\ 15 & 74 & 554589 & 41\times7494+33\times7495 \\ 16 & 64 & 479644 & 36\times7494+28\times7495 \\ 17 & 63 & 472150 & 35\times7494+28\times7495 \\ 18 & 62 & 464655 & 35\times7494+27\times7495 \\ 19 & 48 & 359733 & 27\times7494+21\times7495 \\ 20 & 38 & 284789 & 21\times7494+17\times7495 \\ \end{array}

토니의 득표수와 관련된 미스테리

20위 토니와 18위의 득표수의 합은 $284789 + 464655=749444$로 10위의 득표수와 같다. 일반적으로 7494와 7495의 배수의 합으로 표현되는 두 수의 합도 역시 7494와 7495의 배수의 합으로 표현가능하다. 대수적으로 표현하면 다음과 같다 :

$$ (7494a+7495b)+(7494c+7495d) = 7494(a+c)+7495(b+d). $$

따라서 둘의 득표수를 더해서 다른 사람의 득표와 같아지는 것은 일어날 수 있는 일이 일어난 것이다. 꼭 20등 토니가 아니더라도 6등과 16등의 표를 더해 2등의 표가 나오는 일도 발생했다.

아래의 표는 a등의 표와 b등의 표를 더했을 때, c등의 표가 나온 경우를 모두 나열한 것이다.

\begin{array}{cc|c} a & b & c \\ \hline 4 & 20 & 1 \\ 6 & 16 & 2 \\ 7 & 20 & 3 \\ 8 & 20 & 4 \\ 10 & 15 & 2 \\ 13 & 19 & 4 \\ 16 & 20 & 8 \\ 17 & 20 & 9 \\ 18 & 20 & 10 \\ 19 & 19 & 11 \\ \end{array}

윗순위와의 표차

1위와 2위의 표차이는 29978이다. 이 수는 7494와 7495의 배수의 합으로 표현되는 두 수의 차이이므로, 역시 7494와 7495의 배수의 합으로 표현가능하다. 대수적으로 표현하면 다음과 같다 :

$$ (7494a+7495b)-(7494c+7495d) = 7494(a-c)+7495(b-d). $$

표는 다음과 같다. \begin{array}{c|c|c} \text{} & \text{round} (n \alpha ) & \\ \hline 1-2 & 29978 & 2\times7494+2\times7495 \\ 2-3 & 224833 & 17\times7494+13\times7495 \\ 3-4 & 29978 & 2\times7494+2\times7495 \\ 4-5 & 119911 & 9\times7494+7\times7495 \\ 5-6 & 104922 & 8\times7494+6\times7495 \\ 6-7 & 29978 & 2\times7494+2\times7495 \\ 7-8 & 29978 & 2\times7494+2\times7495 \\ 8-9 & 7494 & 1\times7494+0\times7495 \\ 9-10 & 7495 & 0\times7494+1\times7495 \\ 10-11 & 29978 & 2\times7494+2\times7495 \\ 11-12 & 14988 & 2\times7494+0\times7495 \\ 12-13 & 14989 & 1\times7494+1\times7495 \\ 13-14 & 14989 & 1\times7494+1\times7495 \\ 14-15 & 119911 & 9\times7494+7\times7495 \\ 15-16 & 74945 & 5\times7494+5\times7495 \\ 16-17 & 7494 & 1\times7494+0\times7495 \\ 17-18 & 7495 & 0\times7494+1\times7495 \\ 18-19 & 104922 & 8\times7494+6\times7495 \\ 19-20 & 74944 & 6\times7494+4\times7495 \\ \end{array}

따라서 이 현상도 역시 일어날 수 있는 일이 일어난 것이다.

관련된 항목들

• 프로베니우스 디오판투스 방정식과 동전 바꾸기 문제 (coin exchange problem)
• 2012년 대선 개표와 로지스틱 곡선