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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[가우스-보네 정리]] | * [[가우스-보네 정리]] | ||
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| − | ==간단한 소개 | + | ==간단한 소개== |
* 곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리. | * 곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리. | ||
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| − | ==국소적 가우스-보네 정리 | + | ==국소적 가우스-보네 정리== |
* [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=T ] :곡면상의 영역, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=K ] : 가우스 곡률, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Calpha_i ] : 꼭지점에서의 angle jump, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=k_g ] : 곡선의 측지곡률 | * [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=T ] :곡면상의 영역, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=K ] : 가우스 곡률, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Calpha_i ] : 꼭지점에서의 angle jump, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=k_g ] : 곡선의 측지곡률 | ||
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| − | ==대역적 가우스-보네 정리 | + | ==대역적 가우스-보네 정리== |
* [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=M ] : 유향 컴팩트 곡면, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cchi%28M%29 ] : 곡면의 오일러 특성수 | * [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=M ] : 유향 컴팩트 곡면, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cchi%28M%29 ] : 곡면의 오일러 특성수 | ||
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| − | ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들 | + | ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들== |
* [[미분기하학]] | * [[미분기하학]] | ||
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| − | ==관련된 대학원 과목 | + | ==관련된 대학원 과목== |
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| − | ==관련된 다른 주제들 | + | ==관련된 다른 주제들== |
* [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]<br> | * [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]<br> | ||
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| − | ==표준적인 도서 및 추천도서 | + | ==표준적인 도서 및 추천도서== |
* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords= | * http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords= | ||
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| − | ==위키링크 | + | ==위키링크== |
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem%20%20 http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem] | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem%20%20 http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem] | ||
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* | * | ||
| − | ==참고할만한 자료 | + | ==참고할만한 자료== |
* [http://www.nd.edu/%7Elnicolae/GradStudSemFall2003.pdf The many faces of Gauss-Bonnet] | * [http://www.nd.edu/%7Elnicolae/GradStudSemFall2003.pdf The many faces of Gauss-Bonnet] | ||
* http://mathoverflow.net/questions/84521/a-question-on-generalized-gauss-bonnet-theorem | * http://mathoverflow.net/questions/84521/a-question-on-generalized-gauss-bonnet-theorem | ||
2012년 11월 1일 (목) 09:47 판
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간단한 소개
- 곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리.
- 학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.
국소적 가우스-보네 정리
\(\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds\)
- 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 [5] 의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음
\(\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\)
대역적 가우스-보네 정리
\(\int_M K dA= 2\pi\chi(M)\)
- 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능
(증명)
먼저 곡면을 측지다각형으로 분해하여, 각 다각형 [8] 에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용
\(\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\)
각 다각형에 대한 결과를 모두 더하면,
\(\int_M K dA = 2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)\)
\(=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}\pi - \sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} \text{internal angle at }v\)
[11] (각각의 모서리는 두 번씩 세어짐)
\(2\pi\chi(M)\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
- 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
- 증명의 유사성을 눈여겨 볼 것.
- 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2
표준적인 도서 및 추천도서
위키링크
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem
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참고할만한 자료
- 증명의 유사성을 눈여겨 볼 것.