"슈바르츠 미분(Schwarzian derivative)"의 두 판 사이의 차이
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| − | * <math>\{f,z\}=0</math> 이면, <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math | + | * <math>\{f,z\}=0</math> 이면, <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> |
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| − | * 다음 형태의 [[이계 선형 미분방정식]]을 생각하자:<math>u''(z)+P(z)u(z)=0</math | + | * 다음 형태의 [[이계 선형 미분방정식]]을 생각하자:<math>u''(z)+P(z)u(z)=0</math> |
| − | * <math>u_1(z), u_2(z)</math> 가 이 미분방정식의 일차독립인 두 해이면, <math>w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}</math> 는 다음 미분방정식의 해이다:<math>\{w,z\}=2P(z)</math | + | * <math>u_1(z), u_2(z)</math> 가 이 미분방정식의 일차독립인 두 해이면, <math>w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}</math> 는 다음 미분방정식의 해이다:<math>\{w,z\}=2P(z)</math> |
2020년 11월 12일 (목) 22:42 판
개요
- 복소함수 f 에 대하여, 슈바르츠 미분을 다음과 같이 정의함
\[ \begin{aligned} (Sf)(z) &= \left({f''(z) \over f'(z)}\right)' - {1\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2 \\ &= {f'''(z) \over f'(z)}-{3\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2 \end{aligned} \]
- \(\{f,z\}:=(Sf)(z)\)
뫼비우스 변환
- \(F(z)=\frac{af(z)+b}{cf(z)+d}\) 일 때, \(\{f,z\}=\{F,z\}\) 가 성립한다
- \(\{f,z\}=0\) 이면, \(f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\)
이계 선형 미분방정식
- 다음 형태의 이계 선형 미분방정식을 생각하자\[u''(z)+P(z)u(z)=0\]
- \(u_1(z), u_2(z)\) 가 이 미분방정식의 일차독립인 두 해이면, \(w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}\) 는 다음 미분방정식의 해이다\[\{w,z\}=2P(z)\]
슈바르츠 s-함수
(정리)
복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수 \(w=s(z)\)는 다음 초기하미분방정식\(z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0\) 의 선형독립인 두 해, \(y_1(z),y_2(z)\) 의 비로 표현할 수 있다. 즉 \(w=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}\) 이다.
여기서 \(\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c\).
(증명)
\(P(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\) 라 하자.
원하는 해석함수는 미분방정식 \(\{w,z\}=2P(z)\)의 해이다.
위에서 서술한대로
\(u''(z)+P(z)u(z)=0\)의 선형독립인 두 해 \(u_1(z), u_2(z)\)에 대하여, \(w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}\) 로 표현할 수 있다.
이계 선형 미분방정식 에서 얻은 결과에 따라, 미분방정식 \(u''(z)+P(z)u(z)=0\)를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 형태로 변형할 수 있다.
따라서 \(z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0\) 의 선형독립인 두 해, \(y_1(z),y_2(z)\)에 대하여, \(w(z)=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}\)로 쓸 수 있다. ■
- 슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수) 에 응용된다
역사
메모
- http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/complex/node18.html
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function#Q-form
- http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/complex/node54.html
- http://www.ams.org/notices/200901/tx090100034p.pdf
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzian_derivative
- http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Schwarzian_derivative
관련논문
- Tamanoi, Hirotaka. “Higher Schwarzian Operators and Combinatorics of the Schwarzian Derivative.” Mathematische Annalen 305, no. 1 (1996): 127–151. doi:10.1007/BF01444214.