"갈루아 이론 입문 5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까"의 두 판 사이의 차이

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방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>은 다음과 같은 순서로 풀수 있다. .
  
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양변을 <math>z^2</math>으로 나누면, <math>z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0</math> 을 얻게 된다.
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<math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있다.
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<math>z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0</math>
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방정식을 풀면,
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<math>y^2+y-1=0</math>
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<math>y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}</math>
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<math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하였으므로,  <math>z^2-yz+1=0</math>가 만족된다.
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따라서 <math>z=\frac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2}</math>
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그러므로
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* <math>\zeta=e^{2\pi i \over 17}</math>  로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
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* <math>(3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}</math>
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*  이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류<br>
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** <math>A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}</math>
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** <math>A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}</math>
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** <math>A_0+A_1= -1</math>, <math>A_{0}A_{1} = -4</math>, <math>A_0>A_1</math>
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** <math>A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}</math> , <math>A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}</math>
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*  이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류<br>
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** <math>B_0 = \zeta^{13}+  \zeta^{16}+ \zeta^4 +  \zeta^1 </math>
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** <math>B_1= \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12}</math>
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** <math>B_2= \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^8 +\zeta^2</math>
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** <math>B_3 =\zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} +\zeta^{6}</math>
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** <math>B_0+B_2=A_0</math>, <math>B_0B_2= -1</math>, <math>B_0>0</math>
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** <math>B_0 = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}</math>, <math>B_2 = \frac{-1 + \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}</math>
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** <math>B_1+B_3=A_1</math>, <math>B_1B_3= -1</math>, <math>B_{1}> 0</math>
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** <math>B_1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}</math>, <math>B_3 = \frac{-1 - \sqrt{17} - \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}</math>
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*  이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류<br>
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** <math>C_0= \zeta^{16}+  \zeta^1</math>, <math>C_4= \zeta^{13} +\zeta^4</math>, <math>C_0 > C_1</math>
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** <math>C_0+C_4=B_0</math>, <math>C_0C_4=B_1</math>
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** <math>C_0= \frac{B_0+\sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+  \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{8}</math>
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** <math>C_4= \frac{B_0 - \sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}</math>
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*  이제 마무리<br>
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** <math>\zeta =\frac{{C_0} + \sqrt{{C_0}^2 - 4}}{2}</math>
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** <math>\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+  \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}</math>

2009년 10월 28일 (수) 19:04 판

방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있다. .

양변을 \(z^2\)으로 나누면, \(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\) 을 얻게 된다.

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있다.

\(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0\)

 

방정식을 풀면,

\(y^2+y-1=0\)

\(y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

 

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하였으므로,  \(z^2-yz+1=0\)가 만족된다.

따라서 \(z=\frac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2}\)

 

그러므로

 

 

 

  • \(\zeta=e^{2\pi i \over 17}\)  로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
  • \((3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}\)
  • 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • \(A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}\)
    • \(A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}\)
    • \(A_0+A_1= -1\), \(A_{0}A_{1} = -4\), \(A_0>A_1\)
    • \(A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\) , \(A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\)
  • 이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • \(B_0 = \zeta^{13}+ \zeta^{16}+ \zeta^4 + \zeta^1 \)
    • \(B_1= \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12}\)
    • \(B_2= \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^8 +\zeta^2\)
    • \(B_3 =\zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} +\zeta^{6}\)
    • \(B_0+B_2=A_0\), \(B_0B_2= -1\), \(B_0>0\)
    • \(B_0 = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}\), \(B_2 = \frac{-1 + \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}\)
    • \(B_1+B_3=A_1\), \(B_1B_3= -1\), \(B_{1}> 0\)
    • \(B_1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}\), \(B_3 = \frac{-1 - \sqrt{17} - \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}\)
  • 이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • \(C_0= \zeta^{16}+ \zeta^1\), \(C_4= \zeta^{13} +\zeta^4\), \(C_0 > C_1\)
    • \(C_0+C_4=B_0\), \(C_0C_4=B_1\)
    • \(C_0= \frac{B_0+\sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{8}\)
    • \(C_4= \frac{B_0 - \sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}\)
  • 이제 마무리
    • \(\zeta =\frac{{C_0} + \sqrt{{C_0}^2 - 4}}{2}\)
    • \(\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\)
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