"지겔-베유 공식"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 13일 (금) 07:50 기준 최신판

개요

지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
rank가 \(n\)인 격자 \(L\)과 정수 \(g\leq n\)를 고정
격자의 지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 \(\mathbb{H}_g=\{Z\in M_g(\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}\) 정의된 함수로

\[\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.\]

\({\rm Sp}(g,\Z)\)의 합동부분군 \(\Gamma\)에 대해 weight이 \(n/2\)인 지겔 모듈라 형식
랭크가 \(g\leq n\)인 격자들을 \(L\)에 매장하는 방법의 개수에 대한 정보를 담고 있다

정리

\[\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}= E^{(g)}(Z),\] 여기서 \(E^{(g)}(Z)\)는 \(\Gamma\)에 대한 아이젠슈타인 급수이며 \(L\)의 genus에만 의존

타마가와는 질량 공식이 직교군의 타마가와 수가 2라는 것과 동치임을 보임

예

8차원

\(g=1\)의 경우
\(E_8\)격자의 세타함수는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) \(E_4\)와 같다

\[\theta_{E_8}(\tau)=E_4(\tau)=1+240 q+2160 q^2+6720 q^3+17520 q^4+30240 q^5+\cdots\]

16차원

\(g=1\)의 경우
\(E_8\oplus E_8\)격자와 \(D_{16}^{+}\)격자의 세타함수는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) \(E_4^2=E_8\)와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다

\[ \theta_{E_8\oplus E_8}(\tau)=\theta_{D_{16}^{+}}(\tau)=E_8(\tau)\\ E_8(\tau)=1+480 q+61920 q^2+1050240 q^3+7926240 q^4+\cdots \]

24차원

24차원 짝수 자기쌍대 격자 24개의 세타함수의 가중치평균
\(g=1\)의 경우

\[\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M(\tau)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=E_{12}(\tau)\]

여기서 \(E_{12}\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

\[ E_{12}(\tau)=1+\frac{65520 q}{691}+\frac{134250480 q^2}{691}+\frac{11606736960 q^3}{691}+\frac{274945048560 q^4}{691}+\frac{3199218815520 q^5}{691}+\cdots \]

질문과 답변

메모

Fomenko, O. M. “The Siegel Formula for Genus \(2\).” Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova Akademii Nauk SSSR (LOMI) 76 (1978): 210–15, 218–19.
Paul Garret의 홈페이지에 대한 구글 검색 결과

리뷰, 에세이, 강의노트

Integral quadratic forms and volume formulas, UBC graduate seminar, winter 2011
Jonathan Hanke, Quadratic Forms and Automorphic Forms
Haruzo Hida, Siegel-Weil Formulas, 2007
Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
Paul Garret, Proof of a simple case of the Siegel-Weil formula
Paul Garret, Siegel's integral

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 * 지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
 * 같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
-* rank가 $n$인 격자 $L$과 정수 $g\leq n$를 고정
+* rank가 <math>n</math>인 격자 <math>L</math>과 정수 <math>g\leq n</math>를 고정
-* [[격자의 지겔 세타 급수]]는 지겔 상반 공간 $\mathbb{H}_g=\{Z\in M_g(\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$ 정의된 함수로
+* [[격자의 지겔 세타 급수]]는 지겔 상반 공간 <math>\mathbb{H}_g=\{Z\in M_g(\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}</math> 정의된 함수로
-$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr}
+:<math>\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr}
-     ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$
+     ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.</math>
-* ${\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 [[지겔 모듈라 형식]]
+* <math>{\rm Sp}(g,\Z)</math>의 합동부분군 <math>\Gamma</math>에 대해 weight이 <math>n/2</math>인 [[지겔 모듈라 형식]]
-* 랭크가 $g\leq n$인 격자들을 $L$에 매장하는 방법의 개수에 대한 정보를 담고 있다
+* 랭크가 <math>g\leq n</math>인 격자들을 <math>L</math>에 매장하는 방법의 개수에 대한 정보를 담고 있다
 ;정리
-$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
+:<math>\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
 \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=
-E^{(g)}(Z),$$
+E^{(g)}(Z),</math>
-여기서 $E^{(g)}(Z)$는 $\Gamma$에 대한 아이젠슈타인 급수이며 $L$의 genus에만 의존
+여기서 <math>E^{(g)}(Z)</math>는 <math>\Gamma</math>에 대한 아이젠슈타인 급수이며 <math>L</math>의 genus에만 의존
 * 타마가와는 질량 공식이 직교군의 타마가와 수가 2라는 것과 동치임을 보임
 ==예==
 ===8차원===
-* $g=1$의 경우
+* <math>g=1</math>의 경우
-* $E_8$격자의 세타함수는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] $E_4$와 같다
+* <math>E_8</math>격자의 세타함수는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] <math>E_4</math>와 같다
-$$\theta_{E_8}(\tau)=E_4(\tau)=1+240 q+2160 q^2+6720 q^3+17520 q^4+30240 q^5+\cdots$$
+:<math>\theta_{E_8}(\tau)=E_4(\tau)=1+240 q+2160 q^2+6720 q^3+17520 q^4+30240 q^5+\cdots</math>
 ===16차원===
-* $g=1$의 경우
+* <math>g=1</math>의 경우
-* $E_8\oplus E_8$격자와 $D_{16}^{+}$격자의 세타함수는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] $E_4^2=E_8$와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다
+* <math>E_8\oplus E_8</math>격자와 <math>D_{16}^{+}</math>격자의 세타함수는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] <math>E_4^2=E_8</math>와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다
-$$
+:<math>
 \theta_{E_8\oplus E_8}(\tau)=\theta_{D_{16}^{+}}(\tau)=E_8(\tau)\\
 E_8(\tau)=1+480 q+61920 q^2+1050240 q^3+7926240 q^4+\cdots
-$$
+</math>
 ===24차원===
 * [[24차원 짝수 자기쌍대 격자]] 24개의 세타함수의 가중치평균
-* $g=1$의 경우
+* <math>g=1</math>의 경우
-$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M(\tau)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
+:<math>\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M(\tau)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
-\left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=E_{12}(\tau)$$
+\left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=E_{12}(\tau)</math>
-* 여기서 $E_{12}$는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
+* 여기서 <math>E_{12}</math>는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
-$$
+:<math>
 E_{12}(\tau)=1+\frac{65520 q}{691}+\frac{134250480 q^2}{691}+\frac{11606736960 q^3}{691}+\frac{274945048560 q^4}{691}+\frac{3199218815520 q^5}{691}+\cdots
-$$
+</math>
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 ==메모==
-* Fomenko, O. M. “The Siegel Formula for Genus $2$.” Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova Akademii Nauk SSSR (LOMI) 76 (1978): 210–15, 218–19.
+* Fomenko, O. M. “The Siegel Formula for Genus <math>2</math>.” Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova Akademii Nauk SSSR (LOMI) 76 (1978): 210–15, 218–19.
 * [https://www.google.com.au/search?q=site:http:%2F%2Fwww.math.umn.edu%2F~garrett%2F+siegel&ei=_m07VdyHI8XvmAWpioDICw Paul Garret의 홈페이지에 대한 구글 검색 결과]