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==하전입자에 대한 라그랑지안==
 
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* 전기장 $\mathbf{E}=-\nabla \phi$
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* 자기장 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$
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* 전자기장 안에 놓인 질량 $m$, 전하 $e$의 하전입자에 대한 라그랑지안
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* 전자기장 안에 놓인 질량 <math>m</math>, 전하 <math>e</math>의 하전입자에 대한 라그랑지안
 
:<math>L(q,\dot{q})=\frac{m||\dot{q}||^2}{2}-e\phi+eA_{i}\dot{q}^{i}</math>
 
:<math>L(q,\dot{q})=\frac{m||\dot{q}||^2}{2}-e\phi+eA_{i}\dot{q}^{i}</math>
 
* 켤레운동량
 
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:<math>p_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}^{i}}}=m \dot{q}_{i}+eA_{i}=mv_{i}+eA_{i}</math>
 
:<math>p_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}^{i}}}=m \dot{q}_{i}+eA_{i}=mv_{i}+eA_{i}</math>
 
* [[오일러-라그랑지 방정식]] <math>\dot{p}=F</math>은 다음과 같이 쓰여진다
 
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\dot{p}_{i}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial t}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j} \\
 
\dot{p}_{i}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial t}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j} \\
 
F_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{q^{i}}}=\frac{\partial}{\partial{{q}^{i}}}(-e\phi+eA_{j}\dot{q}^{j})=-e\frac{\partial{\phi}}{\partial{q}^{i}} +e\frac{\partial{A_{j}}}{\partial{q}^{i}}\dot{q}^{j}
 
F_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{q^{i}}}=\frac{\partial}{\partial{{q}^{i}}}(-e\phi+eA_{j}\dot{q}^{j})=-e\frac{\partial{\phi}}{\partial{q}^{i}} +e\frac{\partial{A_{j}}}{\partial{q}^{i}}\dot{q}^{j}
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:<math>m\frac{dv_{i}}{dt}=eE_{i}+eF_{ij}\dot{q}^{j},\quad i=1,2,3 \label{eom}</math>
 
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여기서 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!$
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* 가령 $i=1$이면, \ref{eom}은 다음과 같다
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ma_1=eE_1+e(F_{11}\dot{q}^{1}+F_{12}\dot{q}^{2}+F_{13}\dot{q}^{3})=eE_1+e(F_{12}\dot{q}^{2}-F_{31}\dot{q}^{3})=eE_1+e(\mathbf{v}\times \mathbf{B})_{1}
 
ma_1=eE_1+e(F_{11}\dot{q}^{1}+F_{12}\dot{q}^{2}+F_{13}\dot{q}^{3})=eE_1+e(F_{12}\dot{q}^{2}-F_{31}\dot{q}^{3})=eE_1+e(\mathbf{v}\times \mathbf{B})_{1}
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* 전하가 받는 힘 $\mathbf{F}$는 다음과 같다
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:<math>\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})</math>
 
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* 이를 로렌츠 힘이라 한다
 
* 이를 로렌츠 힘이라 한다
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==전자기장에 대한 라그랑지안==
 
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===상호작용이 없는 경우===
 
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* $j$와 $\rho$가 0인 경우
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* <math>j</math>와 <math>\rho</math>가 0인 경우
 
* 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
 
* 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
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$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)$$
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:<math>\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)</math>
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이 때 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜
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이 때 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>는 전자기텐서, <math>A=(A_{\mu})</math>는 전자기 포텐셜
 
* 작용
 
* 작용
 
:<math>S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x</math>
 
:<math>S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x</math>
 
* 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다
 
* 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다
 
:<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)</math>
 
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여기서 $\Lambda(x)$는 임의의 스칼라장
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여기서 <math>\Lambda(x)</math>는 임의의 스칼라장
 
* 운동방정식
 
* 운동방정식
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\partial_\mu F^{\mu\nu}=0
 
\partial_\mu F^{\mu\nu}=0
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===상호작용이 있는 경우===
 
===상호작용이 있는 경우===
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* $j$와 $\rho$가 0이 아닌 경우
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* <math>j</math>와 <math>\rho</math>가 0이 아닌 경우
 
* 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
 
* 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
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$$L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu$$
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:<math>L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu</math>
 
* 작용
 
* 작용
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$$S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt$$
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:<math>S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt</math>
 
* 운동방정식
 
* 운동방정식
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\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
 
\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
 
\nabla\times B=\mu_0j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t}
 
\nabla\times B=\mu_0j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t}
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2020년 11월 13일 (금) 07:05 판

하전입자에 대한 라그랑지안

  • 전기장 \(\mathbf{E}=-\nabla \phi\)
  • 자기장 \(\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}\)
  • 전자기장 안에 놓인 질량 \(m\), 전하 \(e\)의 하전입자에 대한 라그랑지안

\[L(q,\dot{q})=\frac{m||\dot{q}||^2}{2}-e\phi+eA_{i}\dot{q}^{i}\]

  • 켤레운동량

\[p_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}^{i}}}=m \dot{q}_{i}+eA_{i}=mv_{i}+eA_{i}\]

\[ \dot{p}_{i}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial t}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j} \\ F_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{q^{i}}}=\frac{\partial}{\partial{{q}^{i}}}(-e\phi+eA_{j}\dot{q}^{j})=-e\frac{\partial{\phi}}{\partial{q}^{i}} +e\frac{\partial{A_{j}}}{\partial{q}^{i}}\dot{q}^{j} \] \[m\frac{dv_{i}}{dt}=eE_{i}+eF_{ij}\dot{q}^{j},\quad i=1,2,3 \label{eom}\] 여기서 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)

  • \(F_{12}=B_{3}\), \(F_{23}=B_{1}\), \(F_{31}=B_{2}\)
  • 가령 \(i=1\)이면, \ref{eom}은 다음과 같다

\[ ma_1=eE_1+e(F_{11}\dot{q}^{1}+F_{12}\dot{q}^{2}+F_{13}\dot{q}^{3})=eE_1+e(F_{12}\dot{q}^{2}-F_{31}\dot{q}^{3})=eE_1+e(\mathbf{v}\times \mathbf{B})_{1} \]

  • 전하가 받는 힘 \(\mathbf{F}\)는 다음과 같다

\[\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\]


전자기장에 대한 라그랑지안

상호작용이 없는 경우

  • \(j\)와 \(\rho\)가 0인 경우
  • 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다

\[\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)\] 이 때 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)는 전자기텐서, \(A=(A_{\mu})\)는 전자기 포텐셜

  • 작용

\[S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x\]

  • 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)\] 여기서 \(\Lambda(x)\)는 임의의 스칼라장

  • 운동방정식

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu}=0 \]

상호작용이 있는 경우

  • \(j\)와 \(\rho\)가 0이 아닌 경우
  • 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다

\[L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu\]

  • 작용

\[S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt\]

  • 운동방정식

\[ \nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla\times B=\mu_0j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t} \]


메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 참고자료


리뷰, 에세이, 강의노트

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