"모츠킨 수 (Motzkin number)"의 두 판 사이의 차이
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* 1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, ... | * 1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, ... | ||
==생성함수== | ==생성함수== | ||
| − | * 생성함수 | + | * 생성함수 <math>M(z)=\sum_{n=0}^{\infty}M_n z^n</math>는 다음의 함수방정식을 만족한다 |
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M(z)=1+z M(z)+(z M(z))^2 | M(z)=1+z M(z)+(z M(z))^2 | ||
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* 멱급수전개 | * 멱급수전개 | ||
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M(z)=\frac{1-z-\sqrt{(1+z) (1-3 z)}}{2 z^2}=1+z+2 z^2+4 z^3+9 z^4+21 z^5+51 z^6+\cdots | M(z)=\frac{1-z-\sqrt{(1+z) (1-3 z)}}{2 z^2}=1+z+2 z^2+4 z^3+9 z^4+21 z^5+51 z^6+\cdots | ||
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==점근급수== | ==점근급수== | ||
* 다음이 성립한다 | * 다음이 성립한다 | ||
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M_n\sim \sqrt{\frac{3}{4 \pi n^3}} 3^n \left(1-\frac{15}{16 n}+\frac{505}{512 n^2}-\frac{8085}{8192 n^3}+\frac{505659}{524288 n^4}+O(n^{-5})\right) | M_n\sim \sqrt{\frac{3}{4 \pi n^3}} 3^n \left(1-\frac{15}{16 n}+\frac{505}{512 n^2}-\frac{8085}{8192 n^3}+\frac{505659}{524288 n^4}+O(n^{-5})\right) | ||
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2020년 11월 13일 (금) 07:31 판
개요
- 원 위에 n개의 점이 주어져 있을 때, 서로 만나지 않도록 두 점 사이의 호를 그리는 방법의 수 \(M_n,\quad n=0,1,2\cdots\)
- 1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, ...
생성함수
- 생성함수 \(M(z)=\sum_{n=0}^{\infty}M_n z^n\)는 다음의 함수방정식을 만족한다
\[ M(z)=1+z M(z)+(z M(z))^2 \]
- 멱급수전개
\[ M(z)=\frac{1-z-\sqrt{(1+z) (1-3 z)}}{2 z^2}=1+z+2 z^2+4 z^3+9 z^4+21 z^5+51 z^6+\cdots \]
점근급수
- 다음이 성립한다
\[ M_n\sim \sqrt{\frac{3}{4 \pi n^3}} 3^n \left(1-\frac{15}{16 n}+\frac{505}{512 n^2}-\frac{8085}{8192 n^3}+\frac{505659}{524288 n^4}+O(n^{-5})\right) \]
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxakM3c2ctRDlrUjQ/edit
- http://oeis.org/A001006
- http://demonstrations.wolfram.com/ChordDiagramsForMotzkinNumbers/
사전 형태의 자료
수학용어번역
- Motzkin - 발음사전 Forvo
관련논문
- Kuznetsov, Alexander, Igor Pak, and Alexander Postnikov. "Trees associated with the Motzkin numbers." journal of combinatorial theory, Series A 76.1 (1996): 145-147.
- Donaghey, Robert, and Louis W Shapiro. 1977. “Motzkin Numbers.” Journal of Combinatorial Theory, Series A 23 (3) (November): 291–301. doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6.