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==체비셰프 $\psi$와 $\theta$==
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==체비셰프 <math>\psi</math>와 <math>\theta</math>==
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* $x>0$에 대하여, 다음과 같이 $\psi$와 $\theta$를 정의
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* <math>x>0</math>에 대하여, 다음과 같이 <math>\psi</math>와 <math>\theta</math>를 정의
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\psi(x)=\sum_{n \leq x}\Lambda(n)
 
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\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p
 
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$x>0$에 대하여 다음이 성립한다
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0\leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}
 
0\leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}
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===소수 계량 함수와의 관계===
 
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$x\geq 2$에 대하여 다음이 성립한다
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\theta(x)=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\, dt\\
 
\theta(x)=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\, dt\\
 
\pi(x)=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt
 
\pi(x)=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt
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;증명
 
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함수 $a$가 소수집합에 대한 특성함수, 즉
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함수 <math>a</math>가 소수집합에 대한 특성함수, 즉
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a(n) =
 
a(n) =
 
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  1, & \text{if $n$ is prime}\\  
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라 하자.
 
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이 때, $\pi(x)=\sum_{1<n \leq x}a(n)$ 그리고 $\theta(x)=\sum_{1<n \leq x} a(n)\log n$이 성립한다.  
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이 때, <math>\pi(x)=\sum_{1<n \leq x}a(n)</math> 그리고 <math>\theta(x)=\sum_{1<n \leq x} a(n)\log n</math>이 성립한다.  
  
 
아벨 항등식을 적용하면,
 
아벨 항등식을 적용하면,
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\theta(x)&=\pi(x)\log x-\pi(1)\log 1-\int_{1}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt\\
 
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&=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt
 
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한편 $b(n)=a(n)\log n$으로 두면, 다음이 성립한다
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\pi(x)&=\sum_{3/2<n\leq x}b(n)\frac{1}{\log n}\\
 
\pi(x)&=\sum_{3/2<n\leq x}b(n)\frac{1}{\log n}\\
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&=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt
 
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==동치명제==
 
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다음의 관계들은 동치이다
 
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\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\
 
\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\
 
\lim_{x\to \infty}\frac{\theta(x)}{x}=1 \\
 
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\lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1
 
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Gasarch, William, and Larry Washington. “$\sum_{p\le N} 1/p = Ln(ln N) + O(1)$: An Exposition.” arXiv:1511.01823 [math], November 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01823.
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* Gasarch, William, and Larry Washington. “<math>\sum_{p\le N} 1/p = Ln(ln N) + O(1)</math>: An Exposition.” arXiv:1511.01823 [math], November 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01823.
 
* http://people.oregonstate.edu/~peterseb/misc/docs/pnt2.pdf
 
* http://people.oregonstate.edu/~peterseb/misc/docs/pnt2.pdf
 
* D. Goldfeld, [http://www.math.columbia.edu/%7Egoldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE] 
 
* D. Goldfeld, [http://www.math.columbia.edu/%7Egoldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE] 

2020년 11월 16일 (월) 04:03 판

개요

  • \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉 다음이 성립한다

\[\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\]


체비셰프 \(\psi\)와 \(\theta\)

  • \(x>0\)에 대하여, 다음과 같이 \(\psi\)와 \(\theta\)를 정의

\[ \psi(x)=\sum_{n \leq x}\Lambda(n) \] \[ \theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \]

정리

\(x>0\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ 0\leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2} \]

소수 계량 함수와의 관계

정리

\(x\geq 2\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ \theta(x)=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\, dt\\ \pi(x)=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt \]

증명

함수 \(a\)가 소수집합에 대한 특성함수, 즉 \[ a(n) = \begin{cases} 1, & \text{if \]n\( is prime}\\ 0, & \text{otherwise} \\ \end{cases} \) 라 하자.

이 때, \(\pi(x)=\sum_{1<n \leq x}a(n)\) 그리고 \(\theta(x)=\sum_{1<n \leq x} a(n)\log n\)이 성립한다.

아벨 항등식을 적용하면, \[ \begin{aligned} \theta(x)&=\pi(x)\log x-\pi(1)\log 1-\int_{1}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt\\ &=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt \end{aligned} \]

한편 \(b(n)=a(n)\log n\)으로 두면, 다음이 성립한다 \[ \begin{aligned} \pi(x)&=\sum_{3/2<n\leq x}b(n)\frac{1}{\log n}\\ &=\frac{\theta(x)}{\log x}-\frac{\theta(3/2)}{\log 3/2}+\int_{3/2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\,dt\\ &=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt \end{aligned} \]

동치명제

정리

다음의 관계들은 동치이다 \[ \lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\theta(x)}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1 \]


로그적분

\[\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\]

 

 

역사

  • 1792-3 가우스의 실험적인 관찰에서 발견
  • 1798 르장드르가 소수 정리를 추측
  • 1859 리만이 리만 가설을 발표
  • 1896 아다마르와 드라발레푸생에 의해 (독립적으로) 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
  • 1948 에르디시와 셀베르그가 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 방법으로 소수 정리를 증명
  • 수학사 연표


메모

증명

\[\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\] 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \[\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\] 따라서 \(\theta(x) \sim x\) 임을 가정하면, \[\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\] 를 얻는다.■  

관련된 항목들

 

사전 형태의 자료

 

리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Selberg, Atle. “An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem.” The Annals of Mathematics 50, no. 2 (April 1949): 305. doi:10.2307/1969455.
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