"최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)"의 두 판 사이의 차이

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* 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선
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* 1697년에 베르누이에 의하여 답이 출판
 
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[http://books.google.com/books?id=dptKVr-5LJAC&pg=PA223&sig=PVA7Q1U_MyXinobyhOf54BwjShQ&hl=en#v=onepage&q&f=false Classical Mechanics]
 
[http://books.google.com/books?id=dptKVr-5LJAC&pg=PA223&sig=PVA7Q1U_MyXinobyhOf54BwjShQ&hl=en#v=onepage&q&f=false Classical Mechanics]
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<math>t=\int \frac{1}{v} \, ds</math>(v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간)
 
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에너지 보존 법칙 <math>mgy=\frac{1}{2}mv^2</math>  에서<math>v=\sqrt{2gy}</math>.
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이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
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* http://demonstrations.wolfram.com/TheGreatBrachistochroneRace/
 
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* http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html
 
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==관련논문==
 
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==관련도서==
 
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2020년 12월 28일 (월) 02:58 판

개요

  • 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선
  • 1697년에 베르누이에 의하여 답이 출판

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Classical Mechanics

곡선의 시작점을 \((x_0,y_0)=(0,0)\), 끝점을 \((x_1,y_1)\)라 두자.

곡선을 따라 내려올때 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다.

\(t=\int \frac{1}{v} \, ds\)(v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간)

에너지 보존 법칙 \(mgy=\frac{1}{2}mv^2\) 에서\(v=\sqrt{2gy}\).

이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은 \[T=\int \frac{1}{v} \, ds=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{y} \frac{\sqrt{1+x'(y)^2}}{\sqrt{y}} \, dy\]

문제의 정의에 따라 이 적분값을 최소가 되게 하는 곡선을 찾아야 한다.

\(F(y,x,x')=\frac{\sqrt{1+(x')^2}}{\sqrt{y}}\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식 을 적용하면, \[0 =\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dy} \frac{\partial F}{\partial x'}=-\frac{d}{dy}(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}})\]

적당한 상수 a에 대하여 \(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}\)라 두자.

이를 풀면 다음의 미분방정식을 얻는다. \[\frac{dx}{dy}=\sqrt{\frac{y}{2a-y}}\]

(미분방정식의 여러 해에 대한 논의는 http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm)

\(x=\int_{0}^{y}\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy\), \(y=2a\sin^2\frac{\theta}{2}=a(1-\cos\theta)\)로 치환하면, \(x=a(\theta-\sin\theta)\)를 얻는다.

여기서 상수 a는 주어진 점 \((x_1,y_1)\)를 지날 수 있는 값으로 결정된다.

따라서 사이클로이드를 얻었다.■



재미있는 사실


수학용어번역

  • Brachistochrone curve
    • brachistos - the shortest, chronos - time
    • 최단시간강하 곡선, 최속강하선, 최단강하선


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료



관련논문



관련도서


링크

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