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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[구면조화함수(spherical harmonics)]]<br> | * [[구면조화함수(spherical harmonics)]]<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요== |
* 3차원 공간의 조화다항식을 구면에 restrict 하여 얻어지는 구면 위에 정의되는 함수를 일반적으로 구면조화함수라 함<br> | * 3차원 공간의 조화다항식을 구면에 restrict 하여 얻어지는 구면 위에 정의되는 함수를 일반적으로 구면조화함수라 함<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">정의 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">정의== |
* <math>l\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>, <math>-l \leq m \leq l</math>에 대하여, <math>Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math> | * <math>l\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>, <math>-l \leq m \leq l</math>에 대하여, <math>Y_{l}^{m}(\theta,\phi)</math> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">테이블 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">테이블== |
* l=0<br> | * l=0<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">내적 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">내적== |
<math>\int _0^{2\pi }\int _0^{\pi }Y_l^m(\theta ,\phi ){}^*Y_L^M(\theta ,\phi ) \sin (\theta )d\theta d\phi =\delta _{l,L}\delta _{m,M}.</math> | <math>\int _0^{2\pi }\int _0^{\pi }Y_l^m(\theta ,\phi ){}^*Y_L^M(\theta ,\phi ) \sin (\theta )d\theta d\phi =\delta _{l,L}\delta _{m,M}.</math> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">단위구면의 라플라시안 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">단위구면의 라플라시안== |
* [[구면(sphere)]], [[라플라시안(Laplacian)]]<br><math>\Delta_{S^2} f = {\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}</math><br> | * [[구면(sphere)]], [[라플라시안(Laplacian)]]<br><math>\Delta_{S^2} f = {\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">각운동량 연산자 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">각운동량 연산자== |
* [[오비탈 각운동량]]<br> | * [[오비탈 각운동량]]<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">예 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">예== |
* <math>l=3,m=1</math> 인 경우<br><math>Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right)</math><br> | * <math>l=3,m=1</math> 인 경우<br><math>Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right)</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사== |
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
| 106번째 줄: | 106번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모== |
| 112번째 줄: | 112번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들== |
* [[르장드르 다항식]]<br> | * [[르장드르 다항식]]<br> | ||
| 121번째 줄: | 121번째 줄: | ||
| − | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스 | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== |
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMjBjMTdjYTctZjA0NS00NGI0LThlZjEtMjZjMmU0ODRmOGY5&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMjBjMTdjYTctZjA0NS00NGI0LThlZjEtMjZjMmU0ODRmOGY5&sort=name&layout=list&num=50 | ||
| 138번째 줄: | 138번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
| 149번째 줄: | 149번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%AC%EB%A9%B4%EC%A1%B0%ED%99%94%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/구면조화함수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%AC%EB%A9%B4%EC%A1%B0%ED%99%94%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/구면조화함수] | ||
2012년 11월 1일 (목) 11:48 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 3차원 공간의 조화다항식을 구면에 restrict 하여 얻어지는 구면 위에 정의되는 함수를 일반적으로 구면조화함수라 함
- 3차원 회전군 SO(3)의 \(L^2(S^2)\) 에서의 표현론으로 이해
- 양자역학에서 원자모형을 이해하는데 중요한 역할
- 오비탈 각운동량 항목 참조
정의==
- \(l\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(-l \leq m \leq l\)에 대하여, \(Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\)
- 르장드르 다항식(associated Legendre polynomials) 을 통해서 정의됨
\(Y_l^m(\theta ,\phi )=\sqrt{(2l+1)/(4\pi )}\sqrt{(l-m)!/(l+m)!}P_l^m(\cos (\theta ))e^{im\phi }\)
테이블==
- l=0
\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & \frac{1}{2 \sqrt{\pi }} \end{array} \right)\)
- l=1
\(\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{-i \phi } \sin (\theta ) \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi }} \cos (\theta ) \\ 1 & 1 & -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \end{array} \right)\)
- l=2
\(\left( \begin{array}{ccc} 2 & -2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \\ 2 & -1 & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{-i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ) \\ 2 & 0 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{\pi }} \left(3 \cos ^2(\theta )-1\right) \\ 2 & 1 & -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ) \\ 2 & 2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \end{array} \right)\)
- l=3
\(\left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & \frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{-3 i \phi } \sin ^3(\theta ) \\ 3 & -2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ) \\ 3 & -1 & \frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{-i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right) \\ 3 & 0 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{7}{\pi }} \left(5 \cos ^3(\theta )-3 \cos (\theta )\right) \\ 3 & 1 & -\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right) \\ 3 & 2 & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ) \\ 3 & 3 & -\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{3 i \phi } \sin ^3(\theta ) \end{array} \right)\)
내적==
\(\int _0^{2\pi }\int _0^{\pi }Y_l^m(\theta ,\phi ){}^*Y_L^M(\theta ,\phi ) \sin (\theta )d\theta d\phi =\delta _{l,L}\delta _{m,M}.\)
단위구면의 라플라시안==
- 구면(sphere), 라플라시안(Laplacian)
\(\Delta_{S^2} f = {\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}\)
- 구면조화함수는 라플라시안의 고유벡터이며, 고유치는 \(-l(l+1)\) 이다
\(\Delta_{S^2} Y_{l}^{m}=-l(l+1)Y_{l}^{m}\)
각운동량 연산자==
- 오비탈 각운동량
- \(L^2 Y_{l}^{m}=l(l+1)\hbar^2Y_{l}^{m}\)
- \(L_z Y_{l}^{m}=m \hbar Y_{l}^{m}\)
여기서
\(L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)\)
\(L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }\)
예==
- \(l=3,m=1\) 인 경우
\(Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right)\)
- \(L^2 Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=12\hbar^2Y_{3}^{1}\)
- \(L_{z}Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=\hbar Y_{3}^{1}\)
역사==
메모==
관련된 항목들==
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMjBjMTdjYTctZjA0NS00NGI0LThlZjEtMjZjMmU0ODRmOGY5&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
수학용어번역==
사전 형태의 자료==
- http://ko.wikipedia.org/wiki/구면조화함수
- http://en.wikipedia.org/wiki/spherical_harmonics
- http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
- http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_spherical_harmonics
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=spherical+harmonics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- 3차원 공간의 조화다항식을 구면에 restrict 하여 얻어지는 구면 위에 정의되는 함수를 일반적으로 구면조화함수라 함
- 3차원 회전군 SO(3)의 \(L^2(S^2)\) 에서의 표현론으로 이해
- 양자역학에서 원자모형을 이해하는데 중요한 역할
- 오비탈 각운동량 항목 참조
- 오비탈 각운동량 항목 참조
- \(l\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(-l \leq m \leq l\)에 대하여, \(Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\)
- 르장드르 다항식(associated Legendre polynomials) 을 통해서 정의됨
\(Y_l^m(\theta ,\phi )=\sqrt{(2l+1)/(4\pi )}\sqrt{(l-m)!/(l+m)!}P_l^m(\cos (\theta ))e^{im\phi }\)
- l=0
- l=1
- l=2
- l=3
- 구면(sphere), 라플라시안(Laplacian)
\(\Delta_{S^2} f = {\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}\) - 구면조화함수는 라플라시안의 고유벡터이며, 고유치는 \(-l(l+1)\) 이다
\(\Delta_{S^2} Y_{l}^{m}=-l(l+1)Y_{l}^{m}\)
- 오비탈 각운동량
- \(L^2 Y_{l}^{m}=l(l+1)\hbar^2Y_{l}^{m}\)
- \(L_z Y_{l}^{m}=m \hbar Y_{l}^{m}\)
- \(l=3,m=1\) 인 경우
\(Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right)\) - \(L^2 Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=12\hbar^2Y_{3}^{1}\)
- \(L_{z}Y_{3}^{1}(\theta,\phi)=\hbar Y_{3}^{1}\)
- http://ko.wikipedia.org/wiki/구면조화함수
- http://en.wikipedia.org/wiki/spherical_harmonics
- http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
- http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_spherical_harmonics
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=spherical+harmonics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences