"단진자의 주기와 타원적분"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">단진자의 주기</h5>
 
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*  단진자의 주기는 다음과 같이 주어짐<br><math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta</math><br> 여기서 다음과 같은 치환을 사용하자.<br><math>A=\sqrt{1-\cos\theta_0}</math><br><math>\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2</math><br> 그러면,<br><math>\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi</math><br><math>\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}</math><br><math>\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi</math><br><math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi</math><br>
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*  단진자의 주기는 다음과 같다<br><math>T = 4\sqrt{\ell\over  {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi</math> (여기서 <math>k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}</math>)<br>
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(증명)
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<math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta</math>
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여기서 다음과 같은 치환을 사용하자.
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<math>A=\sqrt{1-\cos\theta_0}</math>
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<math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi</math>
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<math>A=\sqrt{2}k</math>로 두면,
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<math>T = 4\sqrt{\ell\over  {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi</math> (여기서 <math>k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}</math>)
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2010년 4월 30일 (금) 16:19 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐
    \({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \)
  • 보통의 경우, \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\)의 근사식을 이용하여 다음과 같은 미분방정식을 생각함
    \(d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\)
  • 하지만 이러한 근사를 사용하지 않고 주기를 구하기 위해서는, 타원적분이 필요

 

 

단진자의 주기
  • 단진자의 주기는 다음과 같다
    \(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\) (여기서 \(k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}\))

(증명)

 

\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\)

여기서 다음과 같은 치환을 사용하자.

\(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\)

\(\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\)

그러면,

\(\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi\)

\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}\)

\(\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi\)

\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi\)

\(A=\sqrt{2}k\)로 두면,

\(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\) (여기서 \(k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}\))

 

 

 

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