"란덴변환(Landen's transformation)"의 두 판 사이의 차이
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* [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br> | * [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br> | ||
− | * | + | * 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함. |
<math>K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)</math> | <math>K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)</math> | ||
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* hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br> | * hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br> | ||
− | * 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br> | + | * 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br> |
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2009년 3월 28일 (토) 12:25 판
버전1
- 타원적분
\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\) - 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
\(K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\)
버전2
[[Media:|]]
\(I = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta\)
버전3
- hypergeometric 급수와 타원 적분
\(F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\) 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\) - 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
\(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\)
란덴변환과 AGM
\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
표준적인 도서 및 추천도서
- Pi and the AGM
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
- http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
위키링크
참고할만한 자료
- Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary
- Gert Almkvist and Bruce Berndt
- The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608