렘니스케이트 곡선의 등분 (Lemniscatomy)

렘니스케이트 사인과 코사인

• 렘니스케이트 사인
  \(x=\int_{0}^{s}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)
  
• 렘니스케이트 코사인
  \(x=\int_{c}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)
  
• 관계식
  \(s (x)^2+c (x)^2+c (x)^2 s (x)^2=1\)
  
• 덧셈공식
  \(s(x+y)=\frac{s(x) c(y)+c(x) s(y)}{1-s(x) c(x) s(y) c(y)}\)
  

렘니스케이트 타원함수

• 렘니스케이트 사인함수 \(x=\phi(t)\)는 타원적분 \(t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 역함수로 정의된다
• \(m\in\mathbb{Z}[i]\) 에 대하여, \(y=\phi(mt)\) 로 두면, \(mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}\) 을 만족한다
• \(x=\phi(t)\)와 \(y=\phi(mt)\)는
  \(\frac{dy}{\sqrt{1-x^4}}=m\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 관계를 만족한다
  
• 렘니스케이트 사인함수의 덧셈공식
  \(\phi(t+t')=\frac{\phi(t)\sqrt{1-\phi(t')^4}+\phi(t')\sqrt{1-\phi(t)^4}}{1+\phi(t)^2\phi(t')^2}\)
  
• \(\phi(z)\) 는 다음 자코비 타원함수 와 같다
  \(\text{sn}(z|-1)=z-\frac{z^5}{10}+\frac{z^9}{120}-\frac{11 z^{13}}{15600}+\frac{211 z^{17}}{3536000}+O\left(z^{21}\right)\)
  

Lemniscatomy

• 삼각함수의 삼각함수의 배각공식 에 비유하면 적당하다
• 렘니스케이트 타원함수의 덧셈공식으로부터 유도할 수 있다

3등분점

• 렘니스케이트의 삼등분
  \(\phi(3\alpha)=-\phi\frac{\phi^8+6\phi^4-3}{1+6\phi^4-3\phi^8}\)
  
• 위의 식으로부터 \(\phi^8+6\phi^4-3=0\) 의 해를 구하면, 렘니스케이트의 삼등분점을 구할 수 있다

• 세 점의 좌표는 다음과 같이 주어진다
  \(\left(0,0\right)\)
  \(\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\)
  \(\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},-\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\)
  

5등분점

\(\left(\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1+\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}},\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1-\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}}\right)\)

 

 

역사

• 1797 가우스
• 1827 아벨
• 1846 아이젠슈타인
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

메모

• http://books.google.com/books?id=9xu_fuIhmnYC&pg=PA46&lpg=PA46&dq=lemniscate+sine+cosine&source=bl&ots=sSXXD0v-DD&sig=9DA4Q26OtTQAyNVM_saqcJvQRP4&hl=en&sa=X&ei=K9YFUJTPF4nI2AXhneStBQ&ved=0CE4Q6AEwAA # v=onepage&q=lemniscate %20 sine %20 cosine&f=false
• http://books.google.com/books?id=3u4RF8SrRooC&pg=PA459&lpg=PA459&dq=lemniscate+division+cyclotomic&source=bl&ots=JpHeSPRYpp&sig=pFs13_v-R5n62_BideWx-31j7Gw&hl=ko&sa=X&ei=koZGT6rUAbGPigLw4MXbDQ&ved=0CCcQ6AEwAA # v=onepage&q=lemniscate %20 division %20 cyclotomic&f=false
• Norbert Schappacher, Some Milestones of Lemniscatomy
• David A. Cox, "Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schönemann discovered it first", American Mathematical Monthly 118 Vol 1 (January 2011)
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분
• 자코비 타원함수
• complex multiplication

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxc1JxdlNPUjBleEE/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• N.H. Abel (1827–28), Recherches sur les fonctions elliptiques, Journal f.d. reine & angew. Math. 2, 101–181, 3, 160–190 [ = OEuvres compl`etes (Sylow, Lie, ed.s), vol. I, pp. 263–388]
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=