"로그 탄젠트 적분(log tangent integral)"의 두 판 사이의 차이

2009년 9월 5일 (토) 18:07 판

\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\)

\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{d}{ds}\Gamma(s)L(s)|_{s=1}\)

\(F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^s}\)

\(\Gamma(s)F(s)=\int_0^{\infty}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)e^{-nt})t^{s-1}\,dt\)\(z=e^{-t}\) 로 치환하면,

\(\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n)(\log\frac{1}{z})^{s-1}\,\frac{dz}{z}\)

\(f(n+q)=f(n)\) 을 만족하면 (가령 디리클레 캐릭터의 경우)

\(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n=\frac{p(z)}{1-z^q}\)

여기서 \(p(z)=\sum_{n=1}^{q-1}f(n)z^n\)

이를 이용하면,

\(\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}\frac{p(z)(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1-z^q}\,\frac{dz}{z}\) 를 얻는다.

\(\frac{d}{ds}\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}\frac{p(z)(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1-z^q}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}\)

\(s=1\) 이면,

\(F'(1)-\gamma F(1)=\int_0^{1}p(z)\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}\)

\(f\)가 \(f(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, \(p(z)=z-z^3\)

\(L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}\)

[1]Victor H. Moll

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 <math>\frac{d}{ds}\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}\frac{p(z)(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1-z^q}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}</math>
+<math>s=1</math> 이면,
+<math>F'(1)-\gamma F(1)=\int_0^{1}p(z)\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}</math>
+<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>p(z)=z-z^3</math>
+<math>L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}</math>
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 <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5>
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