미디의 정리(Midy's theorem)
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개요
- 142857과 같은 수에서 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 정리
- 1+8=4+5=2+7=9
- 142 + 857=999
- 14+28+57=99
순환마디의 길이가 2의 배수일때
- 소수 p에 대하여, 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\) 라 하자.
\(1\leq i \leq n\) 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 이 성립한다.
또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.
(증명)
분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 생각하자.
\(g_k \equiv a10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=a\) 이다.
순환마디의 길이가 2n이면, \(10^n \equiv -a \pmod p\) 가 성립하므로, \(g_n=p-a\) 임을 안다.
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■
순환마디의 길이가 3의 배수일 때
- 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자.
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 가 성립한다
(증명)
순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.
\(g_k \equiv 10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=1\) 이다.
\(g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p\), \(g_n^3 \equiv 1 \pmod p\) 이므로, \(g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p\) 이다.
따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\) 또는 \(g_0+g_n+g_{2n}=2p\)가 성립한다.
그러나 \(0\leq g_k \leq p-1\) 이므로 \(1+g_n+g_{2n}=2p\)일
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■
예: 142857
- p=7
- 1/p = 0.142857142857...
- 1+8=4+5=2+7=9
- 142 + 857=999
- 14+28+57=99
예 : 1176470588235294
- p=17
- 2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
- 11764705 + 88235294 = 99999999
예 : 052631578947368421
- p=19
- 1/19=0.052631578947368421...
- 52631+578947+368421=999999
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Midy's_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문과 에세이
- A Curious String of Nines
- Hans Liebeck,
- The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438
- Midy's (Nearly) Secret Theorem: An Extension after 165 Years
- Brian D. Ginsberg, The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 1 (Jan., 2004), pp. 26-30
관련논문
- Lewittes, Joseph. 2006. “Midy’s Theorem for Periodic Decimals”. math/0605182 (5월 7). http://arxiv.org/abs/math/0605182
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서