볼록다면체에 대한 데카르트 정리

간단한 소개

•  
  다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\).
  
  위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.
  이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
  
• 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
• 다면체의 한 점에서의 외각
  
  • \(2\pi\)  (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
  • 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.

다면체	그림	점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 외각 A	외각의 총합 V × A
정사면체	[[|Tetrahedron]]	4	6	4	4-6+4=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\)	\(4\times\pi=4\pi\)
정육면체	[[|Hexahedron (cube)]]	8	12	6	8-12+6=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)	\(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체	[[|Octahedron]]	6	12	8	6-12+8=2	\(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)	\(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체	[[|Dodecahedron]]	20	30	12	20-30+12=2	\(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\)	\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체	[[|Icosahedron]]	12	30	20	12-30+20=2	\(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)	\(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)

• 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 외각의 총합이 \(4\pi\) 라는 것.
• 증명

다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.

 

각 점에서의 외각의 총합

이제,  를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자.

k각형의 내각의 합은 이므로, 위의 식은 다음과 같아진다.

 

여기서 가 성립하는데, 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다. 따라서 위의 식은

 

(오일러의 정리가 사용되었음)

 

재미있는 사실

• 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.

 

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그러면 점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인하고, 정오각형의 한 점의 내각의 크기가 \(\frac{3\pi}{5}\) 라는 사실을 이용하면, 한 점에서의 외각이 \(\frac{\pi}{5}\) 가 된다는 것을 알수 있다. 그러면 \(4\pi\) 를 이 숫자로 나누면 20을 얻게 된다. 안 세고도 알 수 있다니 얼마나 좋은가?

데카르트의 정리는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립한다.

그러면 축구공에는 점이 몇 개 있는가? 이걸 알고 싶으면, 무식하게 개수를 세다가 헤맬 것이 아니라,
0. 모든 점이 똑같이 생겼다는 사실을 확인한 후,
1. 한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음,
2. 정오각형 한점 내각 = 108도, 정육각형 한점 내각 = 120도
3. 따라서 축구공 한 점에서의 외각 크기 = 360도 -108도 -120도 -120도 = 12도
4. 데카르트 정리를 이용하여 \(4\pi \div 12\)도 \( = 720 \div 12 = 60\)

그러므로 축구공에는 점이 60개 있다

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2

 

 

 

 

 

참고할만한 자료

• 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리
  
  • 피타고라스의 창