소수 정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 5월 30일 (일) 09:41 판
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개요
  • \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.

 

  • 가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견하였고, 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 발견되었으며, 그 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)가 발견되었다.

 

 

 

동치명제
  • 다음은 소수정리와 동치이다
    \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\)
    (증명)
    \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\)
    임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, 
    \(\varphi(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\)
    따라서 \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\) 임을 가정하면, 

 

 

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