슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 29일 (일) 13:51 판
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개요
  • 복소상반평면을 다각형의 내부로 보내는 등각사상
  • 실수축 위에 있는 \(\{a_k \in\mathbb{R}| k=1,\cdots, n\}\)가 n각형의 꼭지점으로 보내지고
  • n각형의 내각이 \(\{\alpha_k \pi| k=1,\cdots, n\}\)이고 외각이 \(\{\lambda_k \pi| k=1,\cdots, n\}\)  인 경우 (즉 \(\alpha_k+\mu_k=1\))
  • 위의 같은 조건하에서, 다음의 형태로 주어짐
    \(f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}}d\zeta\)

 

 

미분방정식

\(\frac{f''(z)}{f'(z)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{-\mu_k}{z-a_k}\)

 

 

국소적인 이해
  • 우선 \(z^{\lambda}\) 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
  • \(\lambda > 0\) 인 경우에 대해서 먼저 생각해보자
    \(z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)\)
  • 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 \(\arg z\)의 브랜치를 하나 고정하자
  • \(z\) 가 실수라고 하자.
    • \(z>0\)  이면 \(\arg z =0\)
    • \(z<0\)  이면 \(\arg z =\pi\)
  • 상반평면이 \(z^{\lambda}\) 에 의해 각도가 \(\lambda \pi\)인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화
  • \(\lambda < 0\) 인 경우

 

 

 

등각사상으로서의 타원적분
  • 다음과 같은 형태로 주어지는 타원적분 을 생각하자
    \(f(z)=\int_0^z\frac{d\zeta}{\sqrt{(\zeta+1)\zeta(\zeta-1)}}\)
  • 이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 갖는지 알기 위해 국소적으로 보자면,
    • \(z=-1\) 근방에서 \(f(z) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}\)
    • \(z=0\) 근방에서 \(f(z) \approx z^{\frac{1}{2}}\)
    • \(z=1\) 근방에서 \(f(z) \approx (z-1)^{\frac{1}{2}}\)

 

 

단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상


  • 단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings)은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

\(f(z)=\int_0^z\frac{(1-\zeta^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+\zeta^5)^{\frac{4}{5}}}\,d\zeta\)

 

 

 

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