양자 조화진동자

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 2월 13일 (월) 07:20 판
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개요

 

 

고전 역학에서의 조화진동자
  • 질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
  • 해밀토니안
    \(H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\)
  • 해밀턴 방정식
    \(\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\)
    \(\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\)
  • 운동방정식
    \(\ddot{x}=-\omega^{2} x\) 즉 \(\ddot{x}+\omega^{2} x=0\)

 

 

양자조화진동자
  • 위치 연산자와 운동량 연산자
    \([X,P] = X P - P X = i \hbar\)
  • 해밀토니안
    \(\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\)
  • 사다리 연산자(ladder operator)
    \(a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right)\)
    \(a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)\)
  • Hamiltonian
    \(H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)\)
  • Commutation relation
    \(\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\)
    \(\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\)
    \(\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\)

 

 

 

Schrodinger equation

 

\(E \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi \over \partial x^2} + V(x)\psi\)

\(V(x)=\frac{k}{2}x^2\)

 

 

 

 

 

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