오일러 치환

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 2월 9일 (화) 19:16 판
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개요

 

  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
    \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환

 

  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\) 형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수 \(x=x(t)\) 치환
  • \(y^2=ax^2+bx+c\)를 \(t\)에 대한 유리함수로 매개화하는 것이 가장 중요한 아이디어이다. 
  • \(y-y_0 = t(x-x_0)\) passing through a point  \((x_0,y_0)\)

 

 

 

제1오일러치환
  • \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
  • \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)의 예
    \(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
    \(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
    \(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)

 multiply out. Since we can factor the polynomial and one root is 2, we can also use the 3. Euler substitution:  

 


 

제2오일러치환

 


 

 

The third Euler substitution: If , then


 

 

제3오일러치환


 



The second Euler substitution: If the roots  and  of the quadratic polynomial  are real, then


 

 

 

In the case when , that is, when (2) is a hyperbola, the first Euler substitution is obtained by taking \((x_0,y_0)\) as one of the points at infinity defined by the directions of the asymptotes of this hyperbola;

when the roots   and  of the quadratic polynomial \(ax^2+bx+c\) are real, the second Euler substitution is obtained by taking as \((x_0,y_0)\) one of the points  or ;

finally, when , the third Euler substitution is obtained by taking as \((x_0,y_0)\) one of the points where the curve (2) intersects the ordinate axis, that is, one of the points .

 

http://www.integral-table.com/

 

http://books.google.com/books?id=E2IhMXPZMNIC&pg=PR8&lpg=PR8&dq=functions+with+elementary+integral+Analysis+by+Its+History&source=bl&ots=7GRnB0mT8k&sig=jpLHMzhVvPUFDTvIhCYojZWTYNo&hl=ko&ei=VU2HSuu2FpTOsQPMwInbAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3#v=onepage&q=&f=false

 

 

\(\int \sqrt{x^2+1}\,dx\)

 

http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm

http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html

 

 

 

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