정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 8월 10일 (월) 20:43 판
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간단한 소개
  • \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식
  • 자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작

 

 

기본용어
  • 판별식
    \(\Delta=b^2-4ac\)
  • 이차형식의 동치류
    • 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
      \(x \to x+y\) , \(y \to y\)
      \(x \to x\), \(y \to x+y\)
      행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 모듈라 군(modular group)을 생성함
      \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
    • 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(ad-bc= 1\) 가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함
  • primitive 이차형식
    \(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)

 

중요한 문제들
  • 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
  • 주어진 판별식\(\Delta\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
    • \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
    • 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 \(h(\Delta)\)를 \(\Delta\)에 대한 class number 라 함

 

예
  • \(\Delta=b^2-4ac=-3\)
    • \(x^2+xy+y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-4\)
    • \(x^2+y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-7\)
    • \(x^2+xy+2y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-8\)
    • \(x^2+2y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-11\)
    • \(x^2+xy+3y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-12\)
    •  
    • \(x^2+3y^2\), \(2x^2+2xy+2y^2\) (이 경우는 primitive 가 아님)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-15\)
    •  
    • \(x^2+xy+4y^2\), \(2x^2+xy+2y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-23\)
    •  
    • \(x^2+xy+6y^2\), \(2x^2-xy+3y^2\), \(2x^2+xy+3y^2\)

 

기약형식과 모듈라 군
  • 모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다
    \(R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\)
    + 경계조건
  • 기약 형식
    • 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
      \(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)
  • \(ax^2+bxy+cy^2=a(x+\tau y)(x+\bar{\tau} y)\), \(\Im \tau >0\) 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다
    \(|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\)
    \(a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\)
     

 

 

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