타원적분(통합됨)

타원 둘레의 길이

역사적으로 타원 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 \(4aE(k)\) 로 주어짐.
\(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

타원적분

일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름

\(\int R(x,y)\,dx\)

여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)는 중근을 갖지 않는 \(x\)의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.

예를 들자면,
\(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)
\(\int \frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

타원적분의 예

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

\(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

special values of \(K(k)\)

\(K(\frac{1}{\sqrt{2}})\)

\(\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{4})}{2\sqrt{2}\Gamma(\frac{3}{4})}\)

렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분

\(K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{2^{-7/3} 3^{1/4}\Gamma^{3}\left(\frac{1}3\right)}{\pi}\)

\(K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{2^{-7/3} 3^{3/4}\Gamma^{3}\left(\frac{1}3\right)}{\pi}\)

\(K\left(3-2\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{8}\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{\Gamma^2(\frac{3}{4})}\)

덧셈공식

파그나노의 공식
\(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx = \int_0^{A(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx\)
여기서 \(A(x,y)=\frac{x\sqrt{1-y^4}+y\sqrt{1-x^4}}{1+x^2y^2}\)
오일러의 일반화
\(p(x)=1+mx^2+nx^4\)일 때,
\(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx = \int_0^{B(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx\)
여기서 \(B(x,y)=\frac{x\sqrt{p(y)}+y\sqrt{p(x)}}{1-nx^2y^2}\)

타원적분(통합됨)

목차

타원 둘레의 길이

타원적분

타원적분의 예

special values of \(K(k)\)

덧셈공식

메모

관련된 다른 주제들

표준적인 도서 및 추천도서

위키링크

참고할만한 자료

둘러보기 메뉴

검색