Longest element of Weyl groups

수학노트
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개요

  • \(\Sigma\) : 루트시스템의 fundamental system
  • 루트시스템 \(\Delta=\Delta^{+}\sqcup\Delta^{-}\)
  • 바일 군의 원소 중에서 length가 가장 큰 원소 \(w_\circ\)
    • \(\ell(w_{\circ})=N=|\Delta^{+}|\)
    • length에 가장 큰 조건은 이러한 원소를 유일하게 결정함
  • 루트 시스템의 positive system 을 negative system으로 보낸다
  • 다음의 루트 시스템에 대해, non-trivial diagram automorphism 을 얻을 수 있다
    • \(A_n, n\in \mathbb{Z}\)
    • \(E_6\)
    • \(D_n, n\in 2\mathbb{Z}\)
  • 특별한 콕세터 원소(Coxeter element) 의 곱으로 얻어짐

 

 

\(A_2\) 의 예

  • \(w_\circ=s_1s_2s_1\)  가 longest element
  • \(\left\{\alpha _1,\alpha _2\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _2,-\alpha _1\right\}\)로 보낸다

 

 

\(A_3\) 의 예

  • \(w_\circ=s_2s_1s_3s_2s_1s_3\) 가 longest element
  • \(\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _3,-\alpha _2,-\alpha _1\right\}\)로 보낸다

 

 

 

\(D_5\) 의 예

 

  • longest element 는 \(w_{\circ}=s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5\)
  • \(\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _4,\alpha _5\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _5,-\alpha _4\right\}\)로 보낸다

 

 

 

 

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