N차원 공의 부피
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개요
- 반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
- \(x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2\)
- 1차원 공= [-r,r]
- 2차원 공 = 반지름 r인 원판
- 1차원 공의 부피는 \(2r\)
- 2차원 공의 부피는 \(\pi r^2\).
- 3차원 공의 부피는 \(\frac{4}{3}\pi r^3\).
- ...
- n차원 공의 부피는 얼마가 될까?
- n이 짝수일 때는, \(\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}\)
- n이 홀수일 때는, \(\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}\)
- 일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다
\(\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n\)
공식의 유도
- 반지름 1인 n-차원 공의 부피를 \(\omega_{n}\) 라 두자
- 다음 점화식이 성립한다
\( \omega_{n}=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}\)
\( \omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}\)
(증명)
\(\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{-1}^{1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ \sqrt{1-x_{n}^2}} dx_{1}\cdots dx_{n-1})dx_{n}\)
\(=\int_{-1}^{1} \omega_{n-1} (1-x_{n}^2)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} =\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}\)
\(\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2 \leq 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ \sqrt{1-x_{n-1}^2-x_{n}^2}} dx_{1}\cdots dx_{n-2})dx_{n-1} dx_{n}\)
\(=\int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-1}\) ■
\(2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
사전형태의 자료
관련논문
- Greg Huber Gamma Function Derivation of n-Sphere VolumesThe American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 5 (May, 1982), pp. 301-302
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- H. P. Evans Volume of an n-Dimensional SphereThe American Mathematical Monthly, Vol. 54, No. 10, Part 1 (Dec., 1947), pp. 592-594