사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem)

개요

사각격자를 도미노로 덮는 문제
planar bipartite graph 의 perfect matching 문제로 생각할 수 있다
그래프의 적당한 weighted adjacency matrix 와 그 파피안(Pfaffian) 을 통해 답을 표현할 수 있다
통계물리에서는 dimer configuration = covering of a graph by pairs of fermions connected by an edge

예

2x2 격자

다음 두 가지 경우가 존재

다음 행렬의 파피안(Pfaffian) 을 구해서 경우의 수를 얻을 수 있다\[\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)\]
행렬 $\left( \begin{array}{cccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 \\ -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} \\ -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} \\ 0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)$

의 파피안은 $t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}$ 으로 주어진다.

파피안의 각 항은 도미노 타일링에 대응된다.

3x2 격자

다음 세 가지 경우가 존재

다음 행렬의 파피안은 3이다\[\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)\]
행렬 $\left( \begin{array}{cccccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} & 0 & 0 \\ -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & 0 \\ 0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & 0 & -t_{4,6} \\ 0 & 0 & -t_{3,5} & 0 & 0 & t_{5,6} \\ 0 & 0 & 0 & t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)$ 의 파피안은 $t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}$ 이다.

4x4 격자

36개의 타일링

테이블

$m\times n$ 격자의 도미노 타일링

\begin{array}{c|cccccccc} m \ddots n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 \\ 3 & 0 & 3 & 0 & 11 & 0 & 41 & 0 & 153 \\ 4 & 1 & 5 & 11 & 36 & 95 & 281 & 781 & 2245 \\ 5 & 0 & 8 & 0 & 95 & 0 & 1183 & 0 & 14824 \\ 6 & 1 & 13 & 41 & 281 & 1183 & 6728 & 31529 & 167089 \\ 7 & 0 & 21 & 0 & 781 & 0 & 31529 & 0 & 1292697 \\ 8 & 1 & 34 & 153 & 2245 & 14824 & 167089 & 1292697 & 12988816 \\ \end{array}

역사

메모

수학용어번역

사전 형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Borcherds Lecture 26 Pfaffians and dominoes
Propp, James. “Dimers and Dominoes.” arXiv:1405.2615 [math], May 11, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.2615.