안장점 근사

개요

복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
복소함수 $f(z)$에 대하여 $f'\left(z_0\right)=0$인 $z=z_0$를 안장점이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 \[f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots\]
최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다

\[f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\]

\[\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\]

$N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx$ 에서 $x=Nz$ 로 치환하면,

$N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz$

$f \left( z \right) = \ln{z}-z$

$f'(z) = \frac{1}{z}-1$

$f''(z) = -\frac{1}{z^2}$

$z_ 0=1$ 일 때, 최대값을 가지며, $f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3$ 가 된다.

따라서

$N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}$