P진 감마함수(p-adic gamma function)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 1월 14일 (월) 13:02 판 (찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로)
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개요

 

 

정의

자연수 \(n\) 에 대하여 다음과 같이 정의

\(\Gamma_p(n)=(-1)^n\prod_{(i,p)=1}^{n-1} i\)

이를 \(\mathbb{Z}_p\)로 연속함수로 확장하여, p-adic 감마함수를 얻음

 

 

기본적인 성질

\(x\in p\mathbb{Z}_p\) 일 때, \(\Gamma_p(x+1)=-\Gamma_p(x)\)

\(x\not \in p\mathbb{Z}_p\) 일 때, \(\Gamma_p(x+1)=-x\Gamma_p(x)\)

\(x \equiv y \pmod {p^r}\) 이면 \(\Gamma_p(x)\equiv \Gamma_p(y) \pmod {p^r}\)

\(p>3\) 이면 \(|\Gamma_p(x)-\Gamma_p(y)|_p \leq |x-y|_p\)

 

 

반사공식

\(p\neq 2\)이고, \(x\in \mathbb{Z}_p\) 에 대하여 다음 반사공식이 성립

\(\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)=(-1)^{l(x)}\)

여기서 \(x\equiv l(x) \pmod p\), \(l(x)\in \{1,2,\cdots, p\}\)

 

 

special values

 

 

 

 

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