스펙트럼 제타 함수

개요

• 컴팩트 smooth 리만 다양체 $M$ 에 정의된 라플라시안(Laplacian) $\Delta$의 스펙트럼을 이해하기 위한 해석적 도구
• $-\Delta$ 는 positive이고, 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐

$$0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty$$

• $n_j$를 $\lambda_j$의 고유벡터의 차원이라 하면, 스펙트럼 제타함수는 다음과 같이 정의

$$ \zeta_M(s)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{n_j}{\lambda_j^s} $$

• $j\to \infty$일 때, $\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}$ 이므로, $\Re s>\frac{1}{2}\dim M$에서 수렴
• 전체 복소평면으로 meromorphic 확장

라플라시안의 행렬식

• $\det -\Delta=\prod_{j=1}^{\infty}\lambda_j^{n_j}:=e^{-\zeta'_M(0)}$

관련된 항목들

• 라플라시안(Laplacian)
• 모든 자연수의 곱과 리만제타함수

수학용어번역

• spectral - 대한수학회 수학용어집

관련논문

• Minakshisundaram, S.,å. Pleijel. 1949. “Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-Operator on Riemannian manifolds”. Canadian Journal of Mathematics 1 (3) (6월 1): 242–256. doi:10.4153/CJM-1949-021-5.