곡선
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 8월 29일 (목) 06:39 판
개요
- 매개화된 곡선 \(\overrightarrow{r}(t)=(\cos t,\sin t, 3t)\).
곡선의 길이
\((1,0,0)\) 에서 \((1,0,6\pi)\)까지의 곡선의 길이
At \((1,0,0)\), \(t=0\) and at \((1,0,6\pi)\), \(t=2\pi\)
\(\overrightarrow{r}'(t)=(-\sin t,\cos t, 3)\)
\(|\overrightarrow{r}'(t)| =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t +9}=\sqrt{10}\)
곡선의 길이는 다음과 같이 주어지게 된다
\(L=\int_{0}^{2\pi}|\overrightarrow{r}'(t)| \,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{10}\,dt=2\sqrt{10}\pi\)
곡률
- 곡선의 방향 변화를 재는 양
- 길이 s를 매개변수로 갖는 곡선\(\overrightarrow{X}(s)\)의 경우, 이계도함수의 절대값으로 주어진다
\(\overrightarrow{T}(t)=\frac{\overrightarrow{r}'(t)}{|\overrightarrow{r}'(t)|}=\frac{(-\sin t,\cos t, 3)}{\sqrt{10}}\)
\(\overrightarrow{T}'(t)=\frac{(-\cos t,-\sin t, 0)}{\sqrt{10}}\)
\(k=\frac{|\overrightarrow{T}'(t)|}{|\overrightarrow{r}'(t)|}=\frac{\frac{|(-\cos t,\sin t, 0)|}{\sqrt{10}}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{10}\)
예
- 로그나선
- 사이클로이드
- 등시강하곡선 문제 (Tautochrone problem)
- 최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)
- 심장형 곡선(cardioid)
- 원의 방정식
- 이차곡선(원뿔곡선)
- 쌍곡선
- 타원
- 포물선
- 추적선 (tractrix)
- 포락선(envelope)과 curve stitching
- 데카르트의 엽선(folium)
관련된 항목들