아페리(Apéry) 점화식

개요

Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)의 증명에서 등장한 점화식

점화식

$n^2 u_{n}-(An^2-An+\lambda)u_{n-1}+B(n-1)^2u_{n-2}=0$ 꼴의 선형 점화식
$n^2 u_{n}-(7n^2-7n+2)u_{n-1}+8(n-1)^2u_{n-2}=0$
$n^2 u_{n}-(11n^2-11n+3)u_{n-1}-(n-1)^2u_{n-2}=0$

$\zeta(2)$

다음 점화식을 생각하자

$$ n^2 u_{n}-(11n^2-11n+3)u_{n-1}-(n-1)^2u_{n-2}=0 \label{z2} $$

수열 $A_n$과 $B_n$을 초기조건이 다음과 같이 주어진 점화식 \ref{z2}의 해라 하자
$A_0=1, A_1=3, B_0=0, B_1=1$

$$ \begin{array}{cccc} \text{} & A_n & B_n & B_n/A_n \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0.3333333333 \\ 2 & 19 & \frac{25}{4} & 0.3289473684 \\ 3 & 147 & \frac{1741}{36} & 0.3289871504 \\ 4 & 1251 & \frac{6585}{16} & 0.3289868106 \\ 5 & 11253 & \frac{13327519}{3600} & 0.3289868134 \\ 6 & 104959 & \frac{124308457}{3600} & 0.3289868134 \\ 7 & 1004307 & \frac{19427741063}{58800} & 0.3289868134 \\ 8 & 9793891 & \frac{2273486234953}{705600} & 0.3289868134 \\ 9 & 96918753 & \frac{202482451324891}{6350400} & 0.3289868134 \\ \end{array} $$

아페리의 정리

$A_n\in \mathbb{Z}$
$D_n^2 B_n \in \mathbb{Z}$ 여기서 $D_n\approx e^n$은 1부터 n까지의 최소공배수
$\lim_{n\to \infty} \frac{B_n}{A_n} = \frac{1}{5}\zeta(2)$
$|\frac{B_n}{A_n} -\frac{1}{5}\zeta(2)|= O(\lambda^{-2n})$ 여기서 $\lambda=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^5$

아페리(Apéry) 점화식

목차

개요

점화식

$\zeta(2)$

아페리의 정리

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