란덴변환(Landen's transformation)

버전1

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\]
  

• 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.

\[K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\]

 

버전2

• 타원적분

\[I(a,b) = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta\]

• 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.

\[(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})\] 즉, 다음이 성립한다 $$ I(a,b)=I(\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab}) $$

 

버전3

• hypergeometric 급수와 타원 적분

\[F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\] 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)

• 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.

\[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]

• 초기하급수(Hypergeometric series) 항목 참조

 

 

란덴변환과 산술 기하 평균

• 란덴변환을 통해, 타원적분과 산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)의 다음과 같은 관계를 유도 가능

\[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\]

증명

란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다 \[I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{M(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,M(a,b)}\] \(b^2 = a^2 (1 - k^2)\) 로 두면, \[I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)\] \(a=1, b=\sqrt{1-k^2}\) 이면 \[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\] ■

 

관련된 항목들

• 산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분

관련도서

• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein Pi and the AGM

 

사전 형태의 참고자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Landen's_transformation

 

리뷰, 에세이, 강의노트

• Gert Almkvist and Bruce Berndt Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
• Manna, Dante, and Victor H. Moll. 2007. “A Simple Example of a New Class of Landen Transformation.” arXiv:0707.3911 [math]. http://arxiv.org/abs/0707.3911. Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
• Dante V. Manna and Victor H. Moll Landen survey
  • 287-319p from Probability, Geometry and Integrable Systems For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir