조화다항식(harmonic polynomial)
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2014년 1월 12일 (일) 21:38 판
개요
- 아래에서는 세 변수의 경우를 다룸
- \(P^{(l)}\) : $\mathbb{R}^3$에서 차수가 l인 동차다항식이 이루는 벡터공간
- 라플라시안(Laplacian) \(\Delta : P^{(l)} \to P^{(l-2)}\)를 다음과 같이 정의
\[\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\]
- \(\ker \Delta = H^{(l)}\)의 원소를 $\mathbb{R}^3$의 $l$차 조화다항식이라 한다
- 조화다항식의 정의역을 단위구면 \(S^2\)에 제한할 때, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다
예
2차 조화다항식
\[\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\]
3차 조화다항식
\[\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\]
조화다항식과 구면조화함수
- 조화다항식을 단위구면에서 정의된 함수로 볼 때, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다
- 예
- 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
- 단위구면 (구면좌표계 참조) \(x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )\)
- \(\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )\)는 \(Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)\) 의 상수배이다
- 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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