란덴변환(Landen's transformation)
란덴 변환
버전1
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\]
- 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
\[K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\]
버전2
- \(a> b > 0\)에 대하여, 다음의 타원적분을 정의하자
\[I(a,b) : = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta= \frac{1}{a} K(\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}) \label{ik}\]
- 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.
\[(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})\] 즉, 다음이 성립한다 \[ I(a,b)=I(\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab}) \label{hom} \]
버전3
- hypergeometric 급수와 타원 적분
\[F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\] 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)
- 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
\[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]
란덴변환과 산술 기하 평균
- 란덴변환을 통해, 타원적분과 산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)의 다음과 같은 관계를 유도 가능
\[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\]
- 증명
\ref{hom}의 란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다 \[I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{M(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,M(a,b)}\] \ref{ik}에서 \(a=1, b=\sqrt{1-k^2}\)로 두면 다음을 얻는다 \[I(1,\sqrt{1-k^2})=K(k)\] 따라서 \[ K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} \] ■
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련도서
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein Pi and the AGM
사전 형태의 참고자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Gert Almkvist and Bruce Berndt Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
- Manna, Dante, and Victor H. Moll. 2007. “A Simple Example of a New Class of Landen Transformation.” arXiv:0707.3911 [math]. http://arxiv.org/abs/0707.3911. Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
- Dante V. Manna and Victor H. Moll Landen survey
- 287-319p from Probability, Geometry and Integrable Systems For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir