원분체의 유수

개요

• 원분체 (cyclotomic field)의 유수는 정수론의 중요한 주제이다

쿰머의 판정법

• 정규소수 (regular prime)에 대한 쿰머의 판정법

정리 (쿰머)

$p$가 홀수인 소수라 하자. 다음은 동치이다.

1. $p$가 원분체 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$의 유수를 나눈다
2. $p$가 어떤 $0<n<p−1$에 대하여, 베르누이 수 $B_n$의 분자를 나눈다

상대적 유수

• \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)의 유수 \(h_K\)
• \(K^{+} :=\mathbb Q(\zeta_n)^{+}=K\cap \mathbb{R}\)
• $h_K$는 두 정수의 곱 \(h_K=h_K^{+}h_K^{-}\)으로 표현된다
• \(h_K^{-}\)를 상대적 유수(relative class number)라 한다

메모

• Weber class number problem

사전 형태의 자료

• https://en.wikipedia.org/wiki/Herbrand–Ribet_theorem

리뷰, 에세이, 강의노트

• Kelly, KUMMER’S CRITERION ON CLASS NUMBERS OF CYCLOTOMIC FIELDS
• Erickson, RIBET'S CONVERSE TO HERBRAND'S THEOREM

관련논문

• Miller, John C. “Real Cyclotomic Fields of Prime Conductor and Their Class Numbers.” arXiv:1407.2373 [math], July 9, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.2373.
• Miller, John C. “Class Numbers of Totally Real Fields and Applications to the Weber Class Number Problem.” arXiv:1405.1094 [math], May 5, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.1094.
• Lemmermeyer, Franz. 2012. “Ideal Class Groups of Cyclotomic Number Fields I.” arXiv:1202.5777 [math], February. http://arxiv.org/abs/1202.5777.
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• van der Linden, F. J. "Class number computations of real abelian number fields." Mathematics of Computation 39.160 (1982): 693-707.