조화다항식(harmonic polynomial)
개요
- \(P^{(d)}\) : 차수가 $d$인 $n$변수 동차다항식(Homogeneous polynomial)이 이루는 $\mathbb{C}[x_1,\cdots, x_n]$의 부분공간
- 라플라시안(Laplacian) \(\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}\)를 다음과 같이 정의
\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]
- \(\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta \)의 원소를 $d$차 조화다항식이라 한다
- 차원
$$ \dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2} $$
- $n=3$일 때, 조화다항식의 정의역을 단위구면 \(S^2\)에 제한하여, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다
예
- 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 $n=3$인 경우
2차 조화다항식
\[\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\]
3차 조화다항식
\[\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\]
조화다항식과 구면조화함수
- $\mathbb{C}[x,y,z]$의 원소인 조화다항식을 단위구면 $S^2\subset \mathbb{R}^3$에서 정의된 함수로 볼 때, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다
예
- 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
- 단위구면 (구면좌표계 참조) \(x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )\)
- 다음을 얻는다
$$ -x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) $$
- 이는 \(Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)\) 의 상수배이다
역사
메모
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