피터슨 내적 (Petersson inner product)

개요

• \(M_k\) : weight \(k\)인 모듈라 형식이 이루는 벡터공간
• \(S_k\) : weight \(k\)인 cusp 형식이 이루는 벡터공간
• 피터슨 내적을 다음과 같이 정의

\[\langle \cdot , \cdot \rangle : M_k \times S_k \rightarrow \mathbb{C},\] \[\langle f , g \rangle := \iint_\mathrm{F} f(\tau) \overline{g(\tau)}y^k\frac{dxdy}{y^2}\] 여기서 \[\mathrm{F} = \left\{ \tau \in \mathrm{H} : \left| \operatorname{Re}\tau \right| \leq \frac{1}{2}, \left| \tau \right| \geq 1 \right\}\]

• \(S_k\)는 내적공간이 된다

헤케 연산자

• 헤케 연산자는 피터슨 내적에 대하여 에르미트 연산자로 작용한다. 즉, 헤케 연산자\(T_n\)와 \(f,g\in S_k\)에 대하여 다음이 성립한다

\[\langle T_n f , g \rangle = \langle f , T_n g \rangle\]

관련된 항목들

• 헤케 연산자(Hecke operator)

메모

• http://mathoverflow.net/questions/115100/numerical-evaluation-of-the-petersson-product-of-elliptic-modular-forms

사전 형태의 참고자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Petersson_inner_product

관련논문

• Kathrin Bringmann, Nikolaos Diamantis, Stephan Ehlen, Regularized inner products and errors of modularity, http://arxiv.org/abs/1603.03056v1