격자의 세타함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 7월 3일 (금) 16:33 판
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정의
  • 격자 \(L\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함
    \(\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, q=e^{2\pi i \tau}\) 
  • 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.
     
자코비 세타함수의 경우
  • 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수.
    \(\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)

 

세타함수의 모듈라 성질

(정리)

rank가 2n의 even unimodular 격자 \(L\)에 대하여 , 세타함수 \(\theta_L\) 은 모듈라 형식이 된다.

 

(증명)

먼저 cusp 에서의 푸리에 급수 조건은 정의에 당연히 만족된다. ( \(\theta_L(i\infty)=1\) 도 알 수 있음.)

 

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