다이로그 항등식 (dilogarithm identities)

개요

로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm) \(L(x)\)
다이로그 항등식이란 대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식을 말함

\[\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\]

Polylogarithm ladder라 불리기도 한다
모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다

원분다항식과 dilogarithm 항등식

원분다항식 (단위근에 대한 원분다항식(cyclotomic polynomial) 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)\[\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}\] 여기서 \(e_i\) 는 정수, \(r\)은 자연수
대응되는 dilogarithm 항등식\[\sum_{r}\frac{e_r}{r}L(x^r)=cL(1)\] 여기서 c 는 유리수

유리수

오일러\[L(1)=\frac{\pi^2}{6}\]\[-2L(-1)=L(1)\]\[2L(\frac{1}{2})=L(1)\]
Lewin\[L(\frac{1}{2^6})-2L(\frac{1}{2^3})-6L(\frac{1}{2^2})+2L(1)=0\]\[L(\frac{1}{3^2})-6L(\frac{1}{3})+2L(1)=0\]
???\[2 L\left(\frac{1}{p}\right)+\sum _{j=2}^{p-1} L\left(\frac{1}{j^2}\right)=L(1)\]

2차식

란덴 다이로그 항등식

\[5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)\]\[5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)\]

콕세터(1935) \(\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\)라 두자

\[L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7}{5}L(1)\] \[L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)-\frac{21}{5}L(1)\] \[L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{6}{5}L(1)\]

Lewin

\[L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{1}{5}L(1)\]

Lewin

\[L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)\] 여기서 \(x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\)

Browkin

\[L(x^6)-6L(x^3)+3L(x^2)+18L(x)=8L(1)\] \[L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)\] 여기서 \(x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}, z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}\)

르장드르 카이 함수

\[4L(\sqrt{2}-1)-L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{3}{2}L(1)\] \[4L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=2L(1)\] \[4L(\sqrt{5}-2)-L((\sqrt{5}-2)^2)=L(1)\]

Loxton

\[12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=5L(1)\] \[12L(\gamma)-9L(\gamma^{2})-2L(\gamma^{3})+L(\gamma^6)=3L(1)\] 여기서 \(\beta=\frac{\sqrt{3}-1}{2},\gamma=\sqrt{3}-1\).

3차식

왓슨 \(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.

\[7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\] \[7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\] \[7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\]

Loxton & Lewin \(x, -y, -z^{-1}\)가 방정식 \(x^3+3x^2-1=0\)의 해라고 하자.

\[3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0\] \[3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0\] \[3L(z^6)-6L(z^3)-27L(z^2)+18L(z)-2L(1)=0\]

Gordon & McIntosh \(a, -b, -c^{-1}\)가 방정식 \(x^3+6x^2+3x-1=0\)의 해라고 하자.

\[2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0\] \[2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0\] \[2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0\]

4차식

Gordon & McIntosh \(\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2\) 는 방정식 \(x^4+2x^3-x-1=0\)의 해\[5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0\]\[L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0\]

etc

\(\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}\)

http://www.jstor.org/stable/2152925

역사

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxODUxMjM0ZTctNWRlYS00NmMxLWJiZTItYjk0YTQ4YjA1YjBl&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q1238449

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'polylogarithm'}]