점화식
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- 점화식 : 항 사이의 관계식을 써서 수열을 나타낸 식.
점화식의 풀이법 : 아래 본문
Tip) 점화식을 유형별로 분류하여 일반항을 외우지 않는 것을 추천함. 어떤 느낌으로 기본적인 점화식으로 변형할 수 있는지만 기억해 두면 됩니다. 익숙해지면 기본적인 점화식으로 변형해서 푸는 것이 더 빨라짐. 제발 부탁이니 수많은 점화식을 다 외우는 뻘짓을 하지 않기를 바랍니다. 그 뻘짓을 하신다면 이 글도 작성자의 뻘짓이 되는 겁니다 ㅠ
- 점화식을 푸는 것이란 : 점화식이 만족하는 수열의 일반항을 알아 내는 것.
보통의 경우 초기항이 주어져야 완전한 답을 낼 수 있다.
- 기본적인 점화식:
- : 등차수열
- : 등비수열
- : 위의 <계차수열> 참고.
- : 계차수열을 통한 풀이에서, <모든 항을 더하>지 않고 <모든 항을 곱하>면 됨.
- 기본 점화식의 응용
- 양변에 적당한 상수를 더하면 꼴로 만들 수 있다.
- 일반항이 인 수열은 공비 인 등비수열,
- 적당한 상수 는 어떻게 찾냐고? 생각해 볼 것.
- ex) , 초기항 1
양변에 3을 더하면 , 적당한 상수 에 대하여
초항을 만족시키는 값은 2이므로,
- 점화식에 덧셈 기호가 없을 때
- 로그를 취하면 도움이 됨. 로그의 밑은 계산이 간단하도록 적절히 선택하기.
- ex) : 밑 2 인 로그를 취하면
이제 에 대한 점화식을 풀면 됨. (양변에 2를 더해서 …)
- 로그를 취하면 도움이 됨. 로그의 밑은 계산이 간단하도록 적절히 선택하기.
- 점화식이 분수꼴일때
- 역수를 취하면 도움이 될 때가 많음. (만능은 아님)
- ex) : 역수를 취하면 . 이제 에 대한 점화식으로 보고 풀면 됨.
- 역수를 취하면 도움이 될 때가 많음. (만능은 아님)
- 점화식에 과 이 함께 나올 때
- , 의 관계를 사용하면 만의 점화식으로 만들 수 있다.
- ex) 일 때, 이므로
식과 식을 빼 주면
이제부터는 알아서 할 것. 부분합과 일반항이 함께 등장하는 점화식에서는 초기 조건에서 실수를 할 가능성이 높으므로,
- , 의 관계를 사용하면 만의 점화식으로 만들 수 있다.
- 꼴의 점화식
- 일 때
- 잘 정리하면 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 에 대한 등차수열이라고 생각하고, 을 구한다.
- 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
- 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)
- 결론부터 말하자면,
- 의 두 근을 라 하면, 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
- 중근 를 가지는 경우에는 꼴이 된다.
- 의 두 근 에 대하여, 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로
라고 쓸 수 있다.
이제 으로 쓸 수 있다. 에 대한 등비수열을 풀기.
로도 쓸 수 있다. 에 대한 등비수열을 풀기.
연립해서 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.
이 점화식을 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.
- ex) 피보나치 수열 의 일반항을 구하시오. ()
- 결론부터 말하자면,
- 일 때
- 꼴의 점화식
- 양변을 로 나눈 후, 에 대한 점화식을 푸는 것이 한 방법. 이 등비수열인 경우 효과적이다.
- 양변에 적당히 에 대한 식을 더해서 공비 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.
- 이 다항식인 경우, 양변에 과 같은 차수의 다항식을 (계수를 문자로 두고) 더해서, 등비수열 꼴로 만든 후에 계수 비교를 통해 문자를 찾는다.
- ex ) 인 경우, 양변에 를 더하면
우변이 인 경우에 등비수열이 되니까, 이므로 . 그러므로
. 초기항이 주어진 경우 k 를 찾을 수 있다.
- 이 다항식인 경우, 양변에 과 같은 차수의 다항식을 (계수를 문자로 두고) 더해서, 등비수열 꼴로 만든 후에 계수 비교를 통해 문자를 찾는다.
- 꼴의 점화식
- 양변에 적당히 에 대한 식을 더해서 공비 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.
- 점화식의 풀이 중에는 미분방정식의 풀이와 유사한 것이 많다.