다이로그 함수(dilogarithm)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 7월 6일 (월) 11:55 판
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간단한 소개

\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt = \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)

 

여러가지 항등식

오일러의 반사공식

\(\mbox{Li}_2 \left(x \right)+\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)= \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)\)

 

란덴의 항등식

\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{-x}{1-x} \right)=-\frac{1}{2}(\ln(1-x))^2, x<1\)

 

반전공식

\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}(\ln(-x))^2 \qquad\)

 

제곱공식

\(\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))\)

 

Special values

다음 값들은 알려져 있음.

\(\mbox{Li}_{2}(0)=0\)

\(\mbox{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\mbox{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\log^2(2)\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

 

 

special value의 계산

 

 

 

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재미있는 사실
  • Don Zagier

The dilogarithm is the only mathematical function with a sense of humor.

 

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