단진자의 주기와 타원적분
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개요
- 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐
\({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \) - 보통의 경우, \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\)의 근사식을 이용하여 다음과 같은 미분방정식을 생각함
\(d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\) - 하지만 이러한 근사를 사용하지 않고 주기를 구하기 위해서는, 타원적분이 필요
단진자의 주기
- 단진자의 주기는 다음과 같이 주어짐
\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\)
여기서 다음과 같은 치환을 사용하자.
\(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\)
\(\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\)
그러면,
\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin \phi}{\sqrt{1-A^2\cos^4\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{1} \frac{2A}{\sqrt{1-A^2 x^4}}\,dx\)
재미있는 사실
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- http://ko.wikipedia.org/wiki/단진자
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
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