두자연수가 서로소일 확률과 리만제타함수

문제는 바로 다음과 같다.

두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때, 둘이 서로소일 확률은?

두 자연수가 소수 p를 공약수로 가질 확률은 \(\frac{1}{p^2}\)가 된다.

따라서 두 자연수가 서로소일 확률은, 모든 소수 p에 대하여 p를 공약수로 갖지 않을 확률을 곱한 것이 된다. 즉,

\(\prod_{p\text{:prime}}1-\frac{1}{p^2}=\prod_{p\text{:prime}}1-p^{-2}\)

그런데 이 녀석, 지난 글에 등장한 공식과 좀 닮아있지 않은가?

\(\zeta(s)=\prod_{p\text{:prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}\)

이를 활용하면,

\(\prod_{p\text{:prime}}1-\frac{1}{p^2}=\frac{1}{\zeta(2)}\)

그래서 답이 나왔다.

두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때,둘이 서로소일 확률은

\(\frac{6}{\pi^2}\approx0.6079271\cdots\)
이 문제 어디에 도대체 원이 숨어있단 말인가?

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