렘니스케이트 곡선의 등분 (Lemniscatomy)

수학노트
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개요
  • 렘니스케이트 타원함수 \(x=\phi(t)\)는 타원적분 \(t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 역함수로 정의된다
  • \(m\in\mathbb{Z}[i]\) 에 대하여, \(y=\phi(mt)\) 로 두면, \(mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}\) 을 만족한다
  • \(x=\phi(t)\)와 \(y=\phi(mt)\)는
    \(\frac{dy}{\sqrt{1-x^4}}=m\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 관계를 만족한다
  • 렘니스케이트 타원함수의 덧셈공식
    \(\phi(t+t')=\frac{\phi(t)\sqrt{1-\phi(t')^4}+\phi(t')\sqrt{1-\phi(t)^4}}{1+\phi(t)^2\phi(t')^2}\)

 

 

Lemniscatomy
  • 삼각함수의 삼각함수의 배각공식 에 비유하면 적당하다
  • 렘니스케이트의 삼등분
    \(\phi(3\alpha)=-\phi\frac{\phi^8+6\phi^4-3}{1+6\phi^4-3\phi^8}\)
  • 위의 식으로부터 \(\phi^8+6\phi^4-3=0\) 의 해를 구하면, 렘니스케이트의 삼등분을 할 수 있음을 안다

 

 

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