모듈라 형식(modular forms)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 3월 21일 (수) 07:35 판
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개요
  • 푸앵카레 상반평면에서 정의된 해석함수
  • 모듈라 성질과 cusp에서의 푸리에전개를 가짐
  • 별다른 언급이 없을 경우 \(q=e^{2\pi i\tau}\) 를 의미함

 

 

모듈라 성질
  • weight 2k 인 모듈라 형식
  • 모듈라 군(modular group)의 원소에 대하여 다음 조건을 만족시킴
    \(f \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} f(\tau)\)
     

 

 

푸리에 전개
  • cusp에서도 해석함수의 성질을 갖도록 해주기 위한 조건
    \(f(\tau) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i\pi n\tau}\)

 

 

중요한 예

\(\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

구조 정리

(정리)

\(\mathbb{C}[E_4,E_6]=\oplus M_k\)

\(\{E_6^2, \Delta\}\)는 weight 12인 모듈라 형식의 기저가 된다.

 

 

메모

\(d(\frac{az+b}{cz+d})=\frac{(acz+ad-acz-bc)}{(cz+d)^2}dz=(cz+d)^{-2}dz\)

 

 

 

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